251
правка
Изменения
Нет описания правки
<tex dpi =200>J2 \mid n_i \leqslant 2 \mid C_{max}</tex>{{Задача|definition=Постановка задачи==Рассмотрим задачу:<ol><li>*Дано <tex>n</tex> работ и <tex>2</tex> станка.</li><li>*Для каждой работы известно её время выполнения на каждом станке <tex>p_{ij}</tex>.</li><li>*Для каждой работы известна последовательность <tex>O_{i1}, \ O_{i2} \ \ldots \ O_{ik}</tex> станков {{- --}} порядок, в котором нужно выполнить работу. <li>Для любой работы <tex>n_{i}</tex>(Длина *В каждой последовательности <tex>O_{i}</tex>) <tex><=2</tex>не более двух элементов.</li></ol>Требуется минимизировать время окончания выполнения всех работ.}}
==Описание алгоритма==
<tex>M_{1}</tex> {{--- }} первый станок. <tex>M_{2}</tex> {{--- }} второй станок.
Разобьем все работы на четыре множества:
Тогда оптимальное расписание для нашей задачи будет следующим:
из-за того, что работа ещё не выполнилась на предыдущем станке.
==Доказательство корректности алгоритма==
<tex>T_{j}(x)</tex> {{- --}} время выполнения множества работ <tex>x</tex> на станке <tex>j</tex>.
<tex>G_{j}</tex> {{- --}} множество всех работ, которые нужно сделать хотя бы раз на <tex>j</tex>-м станке. (Формально , то есть <tex>G_{1} = I_{1} \cup I_{12} \cup I_{21}</tex>).
{{Лемма
|id=lemma1
|statement=
Расписание, построенное данным алгоритмом, обладает следующим свойством : один из станков работает без простоев.
|proof=
Рассмотрим 2 вариантадва случая:<ul><li>#<tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) >= \geqslant T_{2}(I_{21}) </tex>. <br>Тогда <tex>M_{1}</tex> работает без прерываний, т.к к моменту завершения выполнения <tex>I_{1}</tex> на <tex> M_{1} </tex> все работы <tex>I_{21}</tex> выполнены на <tex>M_{2}</tex>. #<tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) < T_{2}(I_{21}) </tex>.<br>Тогда <tex>M_{2}</tex> работает без прерываний, т.к к моменту завершения выполнения <tex>I_{2}</tex> на <tex> M_{2} </tex> все работы <tex>I_{12}</tex> выполнены на <tex>M_{1}</tex> .
}}
|proof=
[[Файл: j2ni2cmax.jpg|400px|thumb|right|
Рис. 1 {{- --}} Расположение работ.<br>* В серой области могут быть прерывания.
]]
Корректность алгоритма очевидна.
Рассмотрим станок на котором достигается <tex>C_{max}</tex> .
Тогда либо <tex>M_{2}</tex> работает без прерываний и оптимальность очевидна.
Или есть прерывания.
Тогда целевая функция равна ответу задачи [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]] для работ <tex>I_{21}</tex>, который оптимален.
}}
==Сложность алгоритма==
Время работы алгоритма равно времени работы алгоритма [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]], то есть <tex>O(n\log n)</tex>.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория расписаний]]