3622
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Вершинной связностью''' <tex>\varkappakappa</tex> графа <tex>G</tex> называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}
{{Теорема
|statement=
Для любого графа <tex>G</tex> справедливо следующее неравенство: <tex>\varkappa kappa \le\lambda \le \delta </tex>
|proof=
[[Файл:Ver_ed_coh_1.png|thumb|right|150px|Полный граф. <tex> \lambda = \delta = \varkappa kappa = 4</tex>]]
# Проверим второе неравенство. Если в графе <tex>G</tex> нет ребер, то <tex> \lambda = 0 </tex>. Если ребра есть, то несвязный граф получаем из данного, удаляя все ребра, инцидентные вершине с наименьшей степенью. В любом случае <tex> \lambda \le \delta </tex>.
# Чтобы проверить первое неравенство нужно рассмотреть несколько случаев.
##Если <tex>G</tex> - несвязный или тривиальный граф, то <tex> \varkappa kappa = \lambda = 0 </tex>. ##Если <tex>G</tex> связен и имеет мост <tex>x</tex>, то <tex>\lambda = 1 </tex>. В последнем случае <tex> \varkappa kappa = 1 </tex>, поскольку или граф <tex>G</tex> имеет точку сочленения, инцидентную ребру <tex>x</tex>, или же <tex>G=K_2</tex>. ##Наконец, предположим, что граф <tex>G</tex> содержит множество из <tex> \lambda \ge 2 </tex> ребер, удаление которых делает его несвязным. Ясно, что удаляя <tex>\lambda - 1 </tex> ребер из этого множества получаем граф, имеющий мост <tex>x = uv</tex>. Для каждого из этих <tex>\lambda - 1 </tex> ребер выберем какую-либо инцидентную с ним вершину отличную от <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Удаление выбранных вершин приводит к удалению <tex>\lambda - 1 </tex> (а возможно, и большего числа) ребер. Если получаемый после такого удаления граф не связен, то <tex>\varkappa kappa < \lambda</tex>; если же он связен, то в нем есть мост <tex>x</tex>, и поэтому удаление вершины <tex>u</tex> или <tex>v</tex> приводит либо к несвязному, либо к тривиальному графу. В любом случае <tex> \varkappa kappa \le \lambda</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Для любых натуральных чисел <tex>a, b, c</tex>, таких что <tex>a \le b \le c</tex>, существует граф <tex>G</tex>, у которого <tex>\varkappa kappa = a, \lambda = b</tex> и <tex>\delta = c </tex>|proof=[[Файл:Ver_ed_coh_2.png|thumb|right|335px|Граф, в котором <tex> \delta = 4</tex>, <tex>\lambda = 3</tex>, <tex>\varkappa kappa = 2</tex>.]]
Рассмотрим граф <tex>G</tex>, являющийся объединением двух полных графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, содержащих <tex>c + 1</tex> вершину. Отметим <tex>b</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_1</tex> и <tex>a</tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_2</tex>. Добавим в граф <tex>G</tex> <tex>b</tex> ребер так, чтобы каждое ребро было инцидентно помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_1</tex> и помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_2</tex>, причем не осталось ни одной помеченной вершины, у которой не появилось хотя бы одно новое ребро, инцидентное ей.
Тогда:
# Поскольку <tex>b \le c</tex>, то было как минимум две непомеченные вершины, поэтому <tex> \delta = c</tex>, так как минимальные степени вершин графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> были равны <tex>c</tex>, а степени их вершин не уменьшались.
# Заметим, что между двумя вершинами графа <tex>G</tex> существует не меньше <tex>a</tex> вершинно-непересекающихся простых цепей, следовательно по [[теорема Менгера|теореме Менгера]] <tex>\varkappa kappa \ge a</tex>. Однако если удалить из графа <tex>G</tex> помеченные вершины его подграфа <tex>G_2</tex>, то граф <tex>G</tex> потеряет связность. Значит, <tex>\varkappa kappa = a</tex>.
# Аналогично рассуждению пункта 2, легко убедится, что <tex>\lambda = b</tex>.
}}
