Изменения
→Алгоритм построения кодов Прюфера
== Коды Алгоритм построения кодов Прюфера. ==Кодирование Прюфера переводит [[Количество помеченных деревьев#Помеченное дерево|помеченные деревья порядка <tex>n</tex> ]] в последовательность чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> по алгоритму:<br> Пока количество вершин больше двух:# Выбирается лист <tex>>1v</tex> { 1. Выбирается лист с минимальным номером. 2. # В последовательность код Прюфера добавляется номер вершины, смежной вершиныс <tex>v</tex>. 3. Лист # Вершина <tex>v</tex> и инцидентное ей ребро удаляются из дерева. }<br>Полученная последовательность и есть называется '''код кодом Прюфера'''''(англ. Prüfer code)'' для заданного дерева.
{{Лемма
|statement=
|proof=
}}
{{Лемма
|statement=
По любой последовательности длиной длины <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> можно построить помеченное дерево,для которого эта последовательность является кодом Прюфера.
|proof=
Доказательство проведем по индукции.по числу <tex>n</tex><br><u>''База. индукции:''</u> <tex>n = 1</tex> <tex> - </tex> верно. <u>''Индукционный переход:''<br/u>Переход Пусть для числа <tex>n \rightarrow </tex> верно, построим доказательство для <tex>n + 1</tex>.:<br>
Пусть у нас есть последовательность: <tex>A = [a_1, a_2, ..., a_{n - 2}].</tex>
Выберем минимальное число <tex>v</tex> не лежащее в <tex>A</tex>. Это означает, что По предыдущей лемме <tex>v</tex> <tex> - </tex> вершина, которую мы удалили первой (По предыдущей лемме v - лист, а по построению кода мы удаляем лист с минимальным номером). Соединяем Соединим <tex>v</tex> и <tex>a_1</tex> ребром. Выкинем из последовательности <tex>A</tex> - число <tex>a_1</tex>. Далее будем перенумеровывать Перенумеруем вершины, то есть - для всех <tex>\forall i : a_i > v</tex> выполняем заменим <tex>a_i = </tex> на <tex>a_i - 1</tex>. А теперь мы можем применить предположение индукции.
}}
{{Теорема
|statement=
Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка <math>n</math> и последовательностями длиной <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>
|proof=
}}
Следствием из этой теоремы является [[Количество помеченных деревьев|формула Кэли]].
== Пример построения кода Прюфера ==
[[Файл: Prufer.png|500px]]
== Пример декодирования кода Прюфера ==
[[Файл: backprufer.png|700px]]
==См. также==
*[[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности]]
*[[Матрица Кирхгофа]]
*[[Количество помеченных деревьев]]
*[[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа]]
== Источники информации ==
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/graphsuse/11/2.html Университет INTUIT | Представление с помощью списка ребер и кода Прюфера]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]]
[[Категория: Свойства остовных деревьев ]]