3622
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Для начала покажем, что каждый элемент такого моноида можно представить в виде <tex> a^i b^j, i \geqslant 0, j \geqslant 0 </tex>. Докажем это конструктивно. Возьмём произвольную строку и будем в ней заменять все подстроки вида <tex> ba </tex> на подстроки <tex> ab </tex>. Если таких подстрок нет, то наша строка имеет вид <tex> a^i b^j </tex>, а если есть, то строка за конечное число шагов приведётся к указанному виду, потому что операцию замены <tex> ba </tex> на <tex> ab </tex> можно рассматривать, как уменьшения числа инверсий в последовательности, а их точно конечное число, так как все последовательности имеют конечную длину.
'''Замечание''': конкатенация двух последовательностей <tex> a^i b^j </tex> и <tex> a^k b^t </tex> аналогична операции конкатенации строк, только после её применения строку надо привести к виду <tex> a^{i + k} b^{j + t} </tex>, поэтому результат операции равен не конкретной строке, а целому [[Отношение эквивалентности#Класс Классы эквивалентности | классу эквивалентности]].
Предположим, что данный моноид свободный. Это значит, что он изоморфен какому-то свободному моноиду над множество <tex> M_S </tex>, то есть существует биективное отображение <tex> f \colon G \to M_S </tex>. Оно сохраняет ассоциативность операций, поэтому
