3622
правки
Изменения
м
Нет описания правки
|statement= Моноид <tex dpi = 130> G = \Sigma^{*}_{/ab = ba} </tex> не является свободным
|proof=
Для начала покажем, что каждый элемент такого моноида можно представить в виде <tex> a^i b^j, i \geqslant 0, j \geqslant 0 </tex>. Докажем это конструктивно. Возьмём произвольную строку и будем в ней заменять все подстроки вида <tex> ba </tex> на подстроки <tex> ab </tex>. Если таких подстрок нет, то наша строка имеет вид <tex> a^i b^j </tex>, а если есть, то строка за конечное число шагов приведётся к указанному виду, потому что операцию замены <tex> ba </tex> на <tex> ab </tex> можно рассматривать, как уменьшения числа инверсий в последовательности, а их точно конечное число, так как все последовательности имеют конечную длину.
'''Замечание''': конкатенация двух последовательностей <tex> a^i b^j </tex> и <tex> a^k b^t </tex> аналогична операции конкатенации строк, только после её применения строку надо привести к виду <tex> a^{i + k} b^{j + t} </tex>, поэтому результат операции равен не конкретной строке, а целому [[Отношение эквивалентности#Классы эквивалентности | классу эквивалентности]].
