Изменения

'''Код Грея ''' (англ. ''Gray code)''') {{---}} такое упорядочение <tex>k</tex>-ичных (обычно двоичных) векторов, что соседние вектора отличаются только в одном разряде.

[[Файл:Gray_CodeGray_Code_Building.png|360px300px|thumb|right|Иллюстрация получения Получение зеркального двоичного кода Грея.]]

Существует несколько видов кода Грея, самый простой из них {{---}} так называемый зеркальный двоичный код Грея. Строится он так:  Для получения кода длины <tex>n</tex> производится <tex>n</tex> шагов. На первом шаге код имеет длину <tex>1 </tex> и состоит из двух векторов (<tex>0) </tex> и (<tex>1)</tex>. На каждом следующем шаге в конец списка заносятся все уже имеющиеся вектора в обратном порядке, и затем к первой половине получившихся векторов дописывается "<tex>0"</tex>, а ко второй "<tex>1"</tex>. С каждым шагом длина векторов увеличивается на <tex>1</tex>, а их количество {{---}} вдвое.

*<tex>\mathtt{GrayCode }</tex> {{---}} двумерный массивтипа '''boolean''', в котором <tex>\mathtt{GrayCode[a, b] }</tex> {{---}} <tex>b</tex>-ый бит в <tex>a</tex>-ом коде Грея,*<tex>\mathtt{p}</tex> {{---}} Счетчик количества уже имеющихся кодов,*<tex>\mathtt{t}</tex> {{---}} Показывает количество кодов в <tex>(a-1)</tex>-м коде Грея.<font size=3code>

GrayCode[1, n] = 0''false'' GrayCode[2, n] = 1 {построение ''true'' <font color=green> // Построение кода длины 1}</font> p = 2 {p {{---}} количество уже имеющихся кодов} '''for (''' i = 2, i <'''to''' n t = n, i++):p p = p * 2 '''for (''' k = i (p / 2 + 1, k <= 2 * i, k++):'''to''' p GrayCode[k] = GrayCode[p + 1 - kt] {отражение <font color=green> // Отражение имеющихся кодов}</font> GrayCode[k - it, n + 1 - i] = 0''false'' GrayCode[k, n + 1 - i] = 1 {добавление ''true'' <font color=green> // Добавление 0 и 1 в начало}</font> t-- '''return''' GrayCode </fontcode>

* предположим, что код, получившийся на <tex>i</tex>-ом шаге, является Кодом кодом Грея* тогда на шаге <tex>i + 1</tex>: первая половина кода будет корректна, так как она совпадает с кодом с шага <tex>i</tex> за исключением добавленного последнего бита <tex>0</tex>. Вторая половина тоже соответствует условиям, так как она является зеркальным отражением первой половины, только добавлен везде бит <tex>1</tex>. На стыке: первые <tex>i</tex> бит совпадают в силу зеркальности, последние различны по построению. Таким образом, этот код {{---}} Код код Грея. Индукционное предположение доказано, алгоритм работает верно.

Этот алгоритм можно обобщить и для <tex>k</tex>-ичных векторов. Также известен алгоритм преобразования двоичного кода в Код код Грея.

Существует ещё несколько видов Кода кода Грея {{---}} сбалансированный Код код Грея, код БеккетаБаркера-Грея, одноколейный Код код Грея.<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code#Special_types_of_Gray_codes Wikipedia {{---}} Special types of Gray codes]</ref> Кроме того, коды Греяиспользуются для [[:Коды_Грея_для_перестановок|упорядочения перестановок.]]

Для кода длиной <tex>1 </tex> бит утверждение проверяется непосредственно.

Пусть существует зеркальный двоичный код Грея <tex>M</tex> длины <tex>n</tex>, для которого выполнено, что для любого <tex>i </tex> выполняется <tex>\enskip enspace M_i = i \oplus (\lfloor i / 2 \rfloor)</tex>

Для любого <tex>x < 2^n \enskip L_x = 0M_x = 0(x_{n-1}x_{n-2}...x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2}...x_{1}) =</tex>выполняется <tex> 0x_{n-1}x_{n-2}...x_{0} \oplus 00x_{n-1}x_{n-2}...x_{1} enspace L_x = x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)0M_x</tex>и, по условию, равно

Для любого <tex>x L_x = 0(x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \geq oplus 0x_{n-1}x_{n-2^n } \enskip L_x = 1M_ydots x_{1})</tex>раскрыв скобки, где получим новое выражение <tex>y = 2^{n+1} - 1 - x = \neg xL_x</tex>, то есть :

<tex>L_x = 1(\overline {x_0x_{n-1} x_{n-2}... \dots x_{0}} \oplus 0 \overline {x_00x_{n-1} x_{n-2}... \dots x_{1}}) =</tex><tex> 1что равно (\overline {x_{n-1}}x_{n-2}...x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2}..второе слагаемое равно первому, побитово сдвинутого вправо.x_{1}) =</tex>

<tex>= x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)</tex>  Для любого <tex>x \geqslant 2^n</tex> выполняется <tex>\enspace L_x = 1</tex><tex>M_y</tex>, где <tex>y = 2^{n+1} - 1 - x = \neg x</tex>, то есть  <tex>L_x = 1(\overline {x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{0}} \oplus 1x_0 \overline {x_{n-1} x_{n-2} \dots x_{1}})</tex> что по свойству '''xor''' (<tex>\neg x \oplus \neg y = x \oplus y</tex>) равно <tex>= 1(\overline {x_{n-1}}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{1}) </tex> или (все по тому же свойству) <tex>= 1(x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 1x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{01})</tex>раскрыв скобки, получим <tex> = 1x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 01x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{1} </tex> откуда получаем, зная из условия, что старший разряд <tex>L_x</tex> равен <tex>1</tex> <tex>= x_{n}x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{0} \oplus 0x_{n}x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{1} =</tex>что, аналогично первому пункту, равно <tex> = x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)</tex>

== Специальные типы кодов Грея ==[[Файл:single_track.png|50px|thumb|right|Пример однодорожечного кода грея.]] 

Несмотря на то, что зеркальный двоичный код Грея полезен во многих случаях, он не является оптимальным в некоторых ситуациях из-за отсутствия "однородности". В сбалансированном коде Грея, количество изменений в различных координатных позициях сделаны максимально приближенными настолько, насколько это возможно.  Чтобы показать это точнее, пусть <tex>G </tex> {{--- }} это <tex>R</tex>-ичный полный цикл Грея, имеющий последовательность перехода <mathtex> (\delta_k)</mathtex>, <tex>\delta_k = i</tex>, для <tex>k = 0 \dots n</tex> если в коде Грея <tex>i</tex>-й и <tex>(i+1)</tex>биты различны и <tex>n</tex> {{---}} кол-во таких различий; отсчёты переходов(спектры) <tex>G </tex> являются наборами целых чисел, определенных как <mathtex>\lambda_k = |\{ j \in \mathbb{Z}_{R^n} : \delta_j = k \}| \, , \text { for } </tex> для <tex> k \in \mathbb{Z}_R</mathtex>. Код Грея является однородным или равномерно сбалансированным, если все его отсчёты переходов равны, и в этом случае у нас есть <mathtex>\lambda_k = R^n / n</mathtex> для всех <mathtex>k</mathtex>. Ясно, что при <tex>R = 2</tex>, такие коды существуют только при <tex>n = 2</tex>. В противном случае, если <mathtex>R^n</mathtex> не делится на <tex>n </tex> равномерно, то можно построить сбалансированные коды Грея, где каждый отсчёт перехода либо <mathtex>\lfloor R^n / n \rfloor </mathtex> либо <mathtex> \lceil R^n / n \rceil</mathtex>.  Коды Грея также могут быть экспоненциально сбалансироваными, если все их отсчеты переходов являются смежными степеням двойки, и такие коды существуют для каждой степени двойки. 

Еще один вид кода Грея {{-- -}} это однодорожечный код Грея. Разработан , разработанный Спеддингом и уточнен Хильтгеном, Патерсоном и Брандестини в ".  Однодорожечный код Грея"(1996). ОКГ является циклическим списком уникальных двоичных кодировок длины <tex>n </tex> так, что два последовательных слова отличаются ровно в одной позиции, и когда список рассматривается как <mathtex>P_{xn}</mathtex> матрица, каждая колонка {{- --}} это циклический сдвиг первого столбца. Название происходит от их использования датчиками вращения, где количество дорожек в настоящее время измеряется с помощью контактов, в результате для каждой дорожки на выход подаётся <tex>0 </tex> или <tex>1</tex>.  Чтобы снизить уровнень шума различных контактов не переключаясь в тот же момент времени, один датчик предпочтительно устанавливает дорожки так, что выход данных от контактов находится в коде Грея. Чтобы получить высокую угловую точность, нужно много контактов; для достижения точности хотя бы в <tex>1 </tex> градус нужно, по крайней мере, <tex>360 </tex> различных позиций на оборот, который требует минимум <tex>9 </tex> бит данных, и тем самым такое же количество контактов. '''Не путать''' с [[:Цепные_коды|цепными кодами]], получаемых циклическим сдвигом. 

* Фрэнк Грей, который прославился изобретением метода сигнализации, который стал использоваться для цветного телевидения, изобрел метод для преобразования аналоговых сигналов в отраженные двоичные кодовые группы с использованием аппарата на основе вакуумной трубки. Способ и устройство были запатентованы в 1953 году, а код получил название код Грея."PCM трубка" {{-- -}} аппарат, который Грей запатентовалзапатентованный Греем, был сделан Раймондом У. Сирсом из (англ.) Bell Labs, работая с Греем и Уильямом М. Гудоллом.[[Файл:PCM_Tube.png|500px|thumb|center|Часть первой страницы патента Грея, показывающая PCM трубку с отраженным двоичным кодом в тарелке.]]* Использование кодов В технике коды Грея основано прежде всего на том, что он минимизирует эффект используются для минимизации ошибок при преобразовании аналоговых сигналов в цифровые (например, во многих видах датчиков).* Коды Грея часто используются в датчиках-энкодерах <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80 датчикахВикипедия {{---энкодерах}} Датчик угла поворота]</ref>). Их использование удобно тем В частности, коды Грея и были открыты в связи с этим применением. (Код Грея — это код преобразования бинарных символов в <tex>M</tex>-арные, такие, что два соседних значения шкалы сигнала двоичные последовательности, соответствующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются только одним битом. Обычная бинарная кодировка сравнивается с кодировкой Грея. При появлении ошибки в <tex>M</tex>-арном символе наиболее вероятными являются ближайшие соседние символы, отличающиеся от переданного лишь одним битом, если используется кодировка Грея.  Таким образом, высока вероятность того, что при кодировании с помощью кода Грея в одном разрядеслучае возникновения ошибки ошибочным будет только один из <tex>k = \log_2 M</tex> переданных битов. )  

 * Коды Грея широко применяются в теории генетических алгоритмов <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC Википедия {{---}} Генетический алгоритм]</ref> для кодирования генетических признаков, представленных целыми числами. * Коды Грея используются в Картах Карно<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D1%8B_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE Википедия {{---}} Карта Карно]</ref> (при передаче в карту переменные сортируются в код Грея). * Алгоритм модуляции 2B1Q (англ. ''2 Binary 1 Quandary'') <ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/2B1Q Wikipedia {{---}} 2B1Q]</ref> * Код Грея можно использовать также и для решения следующей задачи о <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8 Википедия {{---}} Ханойская Башня]</ref>: === Задача о Ханойских башнях]: === 

Пусть n — количество дисков. Начнём с кода Грея длины nДаны три стержня, состоящего на один из одних нулей (т.е. G(0))которых нанизаны восемь колец, причем кольца отличаются размером и будем двигаться по кодам Грея (от G(i) переходить к G(i+1))лежат меньшее на большем. Поставим Задача состоит в соответствие каждому i-ому биту текущего кода Грея i-ый диск (причём самому младшему биту соответствует наименьший по размеру дисктом, а самому старшему биту — наибольший)чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. Поскольку на каждом шаге изменяется ровно За один бит, то мы можем понимать изменение бита i как перемещение i-го диска. Заметим, что для всех дисков, кроме наименьшегораз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на каждом шаге имеется ровно один вариант хода (за исключением стартовой и финальной позиций). Для наименьшего диска всегда имеется два варианта хода, однако имеется стратегия выбора хода, всегда приводящая к ответу: если n нечётно, то последовательность перемещений наименьшего диска имеет вид <math>f \rightarrow t \rightarrow r \rightarrow f \rightarrow t \rightarrow r \rightarrow \ldots .</math>(где f — стартовый стержень, t — финальный стержень, r — оставшийся стержень), а если n чётно, то <math>f \rightarrow r \rightarrow t \rightarrow f \rightarrow r \rightarrow t \rightarrow \ldotsменьшее.</math>

* Коды '''Решение:''' Пусть <tex>n</tex> — количество дисков. Начнём с кода Грея длины <tex>n</tex>, состоящего из одних нулей (т.е. <tex>G(0)</tex>), и будем двигаться по кодам Грея широко применяются (от <tex>G(i)</tex> переходить к <tex>G(i+1)</tex>).  Поставим в теории [http:соответствие каждому <tex>i</tex>-ому биту текущего кода Грея <tex>i</rutex>-ый диск (причём самому младшему биту соответствует наименьший по размеру диск, а самому старшему биту — наибольший).wikipediaПоскольку на каждом шаге изменяется ровно один бит, то мы можем понимать изменение бита <tex>i</tex> как перемещение <tex>i</tex>-го диска.orgТо есть, будем понимать переход от последовательности <tex>101</tex> к <tex>100</tex> как перемещение <tex>0</tex>-го диска на свободное место, а от <tex>010</tex> к <tex>110</wikitex> {{---}} как перемещение <tex>2</%D0%93%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC генетических алгоритмов] tex>-го диска на свободное место.  Заметим, что для всех дисков, кроме наименьшего, на каждом шаге имеется ровно один вариант хода (за исключением стартовой и финальной позиций). Для самого маленького диска всегда есть две свободные позиции, потому что он самый маленький, его можно положить сверху на любой диск. Если диск не самый маленький, то для него может быть не более одной свободной позиции. Допустим, что для кодирования генетических признаковнего свободные две позиции. Это означает, что на двух других стержнях расположены диски размером больше, чем рассматриваемый. А так как рассматриваемый диск не самый маленький, то где-то расположен наименьший. Либо он расположен на рассматриваемом диске, тогда мы не можем переместить рассматриваемый, либо на каком-то другом, представленных целыми числамино тогда у нашего диска остаётся не более одной свободной позиции.Для наименьшего диска всегда имеется два варианта хода, однако имеется стратегия выбора хода, всегда приводящая к ответу: если <tex>n</tex> нечётно, то последовательность перемещений наименьшего диска имеет вид <tex>r_{1} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{1} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{2} \rightarrow \ldots .</tex>(где <tex>r_{1}</tex> — стартовый стержень, <tex>r_{3}</tex> — финальный стержень, <tex>r_{2}</tex> — оставшийся стержень), а если <tex>n</tex> чётно, то <tex>r_{1} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{1} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{3} \rightarrow \ldots.</tex> * Коды Выбор обусловлен тем, на каком стержне окажется в конце пирамидка, решение с помощью кода Грея используются в является следствием классического нерекурсивного решения<ref>[httphttps://ruen.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D1%8B_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE Картах КарноTower_of_Hanoi#Non-recursive_solution Wikipedia {{---}} Tower of Hanoi Non-recursive solution] (при передаче в карту переменные сортируются в Код Грея)</ref>. ==См.Также== * [[:Коды_антигрея|Коды Грея также используются для связи систем с различной частотой работы.антигрея]] ==Примечания== <references />

== Источники информации ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code Wikipedia {{---}} Gray code, From Wikipedia, the free encyclopedia]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Код_Грея код_Грея Википедия {{---}} Код Грея, Материал из Википедии — свободной энциклопедии]