137
правок
Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition ='''Нечетная компонента связности''' графа <tex>G</tex> {{---}} компонента связ...»
{{Определение
|definition ='''Нечетная компонента связности''' графа <tex>G</tex> {{---}} компонента связности, содержащая нечетное число вершин.
}}
{{Определение
|definition =Обозначим за <tex>o(G)</tex> количество нечетных компонент связности в графе <tex>G</tex>.
}}
== Теорема Татта ==
{{Теорема
|statement=В графе <tex>G</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset V(G)</tex> выполнено условие: <tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>
|proof =
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>G</tex> и множество вершин <tex>S \subset V(G)</tex>.
Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> G \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>, так как иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности. Таким образом, получаем, что
<tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
<tex>\Leftarrow</tex>
}}
|definition ='''Нечетная компонента связности''' графа <tex>G</tex> {{---}} компонента связности, содержащая нечетное число вершин.
}}
{{Определение
|definition =Обозначим за <tex>o(G)</tex> количество нечетных компонент связности в графе <tex>G</tex>.
}}
== Теорема Татта ==
{{Теорема
|statement=В графе <tex>G</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset V(G)</tex> выполнено условие: <tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>
|proof =
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>G</tex> и множество вершин <tex>S \subset V(G)</tex>.
Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> G \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>, так как иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности. Таким образом, получаем, что
<tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
<tex>\Leftarrow</tex>
}}
