Изменения

'''Алгоритм D* (pronounced "D star") is any one of the following three related incremental search algorithms''' {{---}} алгоритм поиска кратчайшего пути во [[Основные определения теории графов|взвешенном ориентированном графе]], где структура графа неизвестна заранее или постоянно подвергается изменению. Разработан Свеном Кёнигом и Максимом Лихачевым в 2002 году.

== Алгоритм LPA*Обозначим множество <tex>S</tex> как множество вершин графа. Обозначим множество <tex>Succ(s) \in S</tex> как множество вершин, исходящих из вершины <tex>s</tex>. Аналогично множество <tex>Pred(s) \in S</tex> как множество вершин, входящих в вершину <tex>s</tex>. ==

Функция === Постановка задачи ===Дан [[Основные определения теории графов|взвешенный ориентированный граф]] <tex>0 <= сG(sV, s'E) <= +inf/tex>. Даны вершины: стартовая вершина <tex>f</tex> и конечная вершина <tex>t</tex> будет возвращать перехода из вершины s в вершину s'. При этом s' in SuccТребуется после каждого изменения графа <tex>G</tex> уметь вычислять функцию <tex>g(s).</tex> для каждой известной вершины <tex>s \in V</tex>

=== Описание ===Функция <tex>g(s) </tex> будет возвращать последнее известное наименьшую стоимость пути из вершины <tex>f</tex> в <tex>s</tex>. Её значение расстояние от вершины s_start до для алгоритма будет почти аналогичным значению в [[Алгоритм A* | алгоритме A*]], за исключением того, что в данном алгоритме наc интересуют только <tex>g(s)</tex>-значения известных вершин на данной итерации.

Если Будем поддерживать для каждой вершины два вида смежных с ней вершин:* Обозначим множество <tex>Succ(s = s_{start}) \subseteq V</tex>как множество вершин, исходящих из вершины <tex>rhs(s) = 0</tex>. Иначе * Обозначим множество <tex>rhsPred(s) = min_{s' in pred(s)}(g(s') + c(s'\subseteq V</tex> как множество вершин, входящих в вершину <tex>s)</tex>.

Будем говоритьФункция <tex>0 \leqslant c(s, что вершина s @A vertex ') \leqslant +\infty</tex> будет возвращать стоимость ребра <tex>(s is called locally consistent@, если gs')</tex>. При этом <tex>c(s, s') = rhs+\infty</tex> будет тогда и только тогда, когда ребра <tex>(s, s')Очевидно, что если все вершины "locally consistent", то мы можем найти расстояние от стартовой вершины до любой</tex> не существует.

Функция key{{Определение|definition=Будем называть '''rhs-значением''' (англ. ''right-hand side value'') такую функцию <tex>rhs(s)</tex>, где которая будет возвращать потенциальное минимальное расстояние от <tex>f</tex> до <tex>s-вершина, возвращает вектор из 2-ух значений k_1</tex> по следующим правилам:<tex>rhs(s)= \begin{cases}0, k_2(& \text{if } s = f \\\min\limits_{s). k_1' \in Pred(s) = min}(g(s), rhs(s)') + hc(s', s_goal). k_2(s) = min(g(,& \text{otherwise}\end{cases}</tex>Так как rhs-значение использует минимальное значение из минимальных расстояний от <tex>f</tex> до вершин, входящих в данную вершину <tex>s)</tex>, rhs(это будет нам давать информацию об оценочном расстоянии от <tex>f</tex> до <tex>s))</tex>.}}

Если в конце поиска пути {{Определение|definition=Вершина <tex>s</tex> называется '''насыщенной''' (англ. ''locally consistent''), если <tex>g(s_goals) = +inf, то мы не смогли найти путь от s_start до s_goalrhs(s)</tex>}}

procedure CalcKey(s){{Определениеreturn [min(g(|definition=Вершина <tex>s); rhs(s)) + h</tex> называется '''ненасыщенной''' (s;sgoalангл. ''locally underconsistent'');min(, если <tex>g(s); < rhs(s))];</tex>}}

procedure Initialize(){U = nullfor all s \in S{rhs(s) = gОчевидно, что если все вершины насыщены, то мы можем найти расстояние от стартовой вершины до любой. Такой граф будем называть устойчивым (sнасыщенным) = 1;}rhs(s_start) = 0;U.Insert(s_{start};CalcKey(s_{start}));}

procedure UpdateVertex[[Эвристики для поиска кратчайших путей|Эвристическая функция]] <tex>h(us,s')</tex> теперь должна быть неотрицательная и выполнять неравенство треугольника, т.е. {if <tex>h(u !t,t) = s_{start}) rhs0</tex> и <tex>h(us, t) = min_{s' \in Pred(u)}(gleqslant c(s,s')+ch(s',ut));if (u </tex> для всех <tex>s \in V</tex> и <tex>s' \in U) U.RemoveSucc(u);if (g(u) != rhs(us)){U.Insert(u;CalcKey(u));}}</tex>

procedure ComputeShortestPath(){{Определениеwhile (U.TopKey|definition=Будем называть '''ключом''' вершины такую функцию <tex>key(s)< CalcKey/tex>, которая возвращает вектор из 2-ух значений <tex>k_1(sgoals) OR rhs</tex>, <tex>k_2(sgoals) != g</tex>. * <tex>k_1(sgoals))u = U.Pop();if \min(g(us) > , rhs(us))+ h(s, t)</tex> g* <tex>k_2(us) = rhs\min(g(u);for all s 2 Succ(u) UpdateVertex, rhs(s);)</tex>,где <tex>s</tex> - вершина из множества <tex>V</tex>else}}Если в конце поиска пути <tex>g(ut) = 1;for all s +\in Succ(u) perec {u}{UpdateVertex(s);}}infty</tex>, то мы не смогли найти путь от <tex>f</tex> до <tex>t</tex> на текущей итерации. Но после следующего изменения графа путь вполне может найтись.

procedure === Псевдокод === Основная функция, описывающая алгоритм '''function''' main(): initialize() '''while''' ''true'' computeShortestPath() <font color="green">// В данный момент мы знаем кратчайший путь из f в t.</font> Ждем каких-либо изменений графа. '''for''' всех ориентированных ребер (u, v) с измененными весами: Обновляем результат функции c(u, v) updateVertex(v) Функция инициализации исходного графа устанавливает для всех вершин кроме стартовой вершины <tex>f</tex> значения <tex>g(s)</tex> и <tex>rhs(s)</tex> равными бесконечности. Для стартовой <tex>rhs(f)=0</tex>. Очевидно, что минимальное расстояние от стартовой вершины до самой себя должно быть равным 0, но <tex>g(f)=+\infty</tex>. Это сделано для того, чтобы стартовая вершина была ненасыщенной и имела право попасть в приоритетную очередь. '''function''' initialize(): <font color="green">// Заведем [[Двоичная куча|приоритетную очередь]] U, в которую будем помещать вершины.</font> <font color="green">// Сортировка будет производиться по функции key(s).</font> U = <tex>\varnothing</tex> '''for''' s <tex>\in</tex> V rhs(s) = g(s) = <tex>+\infty</tex> rhs(f) = 0 U.insert(f, calcKey(f)) Функция <tex>key(s)</tex>. Возвращаемые значения сортируются в лексографическом порядке, то есть сначала сортируется по <tex>k_1(s)</tex>, потом по <tex>k_2(s)</tex> '''function''' calcKey(s): '''return''' [min(g(s), rhs(s)) + h(s, t), min(g(s), rhs(s))] Обновляет данные вершины в соответствие с данными выше определениями. Также поддерживает инвариант того, что в очереди U лежат только ненасыщенные вершины. '''function''' updateVertex(u): '''if''' u <tex>\ne</tex> f <tex>rhs(u) = \min\limits_{s' \in Pred(u)}(g(s') + c(s',u))</tex> '''if''' u <tex>\in</tex> U U.remove(u) '''if''' g(u) <tex>\ne</tex> rhs(u) U.insert(u, calcKey(u)) Функция несколько раз перерасчитывает значение <tex>g(s)</tex> у ненасыщенных вершин в неубывающем порядке их ключей. Такой перерасчет значения <tex>g(s)</tex> будем называть ''расширением'' вершины. '''function''' computeShortestPath(): '''while''' U.topKey() < calcKey(t) '''or''' rhs(t) <tex>\ne</tex> g(t) u = U.pop() '''if''' g(u) > rhs(u) g(u) = rhs(u) '''for''' <tex>s</tex> <tex>\in</tex> Succ(u) UpdateVertex(s) '''else''' g(u) = <tex>+\infty</tex> '''for''' s <tex>\in</tex> Succ(u) <tex>\cup</tex> <tex>\{u\}</tex> updateVertex(s) === Асимптотика === {{Теорема|about=О монотонности изменения ключей|statement=В течение выполнения функции '''ComputeShortestPath''' вершины, взятые из очереди, монотонно не убывают.|proof=Доказательство [http://www.cs.cmu.edu/~maxim/files/aij04.pdf]}} {{Теорема|about=О необратимой насыщенности|statement=Если в функции '''ComputeShortestPath''' была взята переполненная вершина, то на следующей итерации она станет насыщенной.|proof=Доказательство [http://www.cs.cmu.edu/~maxim/files/aij04.pdf]}} {{Теорема|statement=После выполнения функции '''ComputeShortestPath''' можно восстановить путь из <tex>f</tex> в <tex>t</tex>. Для этого, начиная с вершины <tex>t</tex>, нужно постоянно передвигаться к такой вершине <tex>s'</tex>, входящей в <tex>t</tex>, чтобы <tex>g(s') + c(s',s)</tex> было минимальным, до тех пора, пока не будет достигнута вершина <tex>f</tex>.|proof=Доказательство [http://www.cs.cmu.edu/~maxim/files/aij04.pdf]}} Таким образом мы описали алгоритм LPA*. Он вычисляет длину кратчайшего пути между вершинами <tex>f</tex> и <tex>t</tex>, используя при этом данные из предыдущих итераций. Очевидно, что в худшем случае (а именно когда все ребра вокруг текущей вершины изменили свой вес) алгоритм будет работать как последовательные вызовы алгоритма А* за <tex>O(n \cdot m \cdot \log(n))</tex>. Улучшим эту оценку с помощью алгоритма D* lite. '''Примечание''': на практике же такой подход тоже имеет место на плотных графах (или матрицах), так как в среднем дает оценку <tex>O(n \cdot \log(n))</tex>. == Алгоритм D* (Первая версия) ==Пока что был описан только алгоритм LPA*. Он находит кратчайшее расстояние между начальной и конечной вершинами при любом изменении данного графа. Его первоначальный поиск полностью совпадает с алгоритмом A*, но последующие итерации способны использовать информацию из предыдущих поисков. === Постановка задачи ===Дан [[Основные определения теории графов|взвешенный ориентированный граф]] <tex> G(V, E) </tex>. Даны вершины <tex>f</tex> и <tex>t</tex>. Требуется в процессе движения по кратчайшему пути в графе <tex>G</tex> обновлять значения функции <tex>g(s)</tex> при поступлении новой информации о графе <tex>G</tex>. Теперь на основе LPA* опишем алгоритм D*, который способен определять расстояние между текущей вершиной <tex>f</tex>, в которой, допустим, находится способный к сканированию местности "робот", и конечной вершиной <tex>t</tex> при каждом изменении графа в то время, как наш "робот" движется вдоль найденного пути. [[Файл:Схема_движения_робота_Dstar.png|350px|thumb|right|Схема движения "робота" в процессе работы алгоритма D*. Информация о серых клетках ему неизвестна до тех пор, пока они не попадут в его зону обзора. В данном примере зона обзора составляет 1 клетку в 8-ми направлениях.]] === Описание ===Опишем первую версию алгоритма D*. Так как при движении по кратчайшему пути путь может только сокращаться и происходит изменение только стартовой вершины, то можно применить идею из алгоритма LPA*. '''Примечание''': Большинство функций переходят в данный алгоритм без изменений, поэтому опишем только измененные части. Для начала мы поменяем направление поиска в графе.  Теперь функция g(s) хранит минимальное известное расстояние от <tex>t</tex> до <tex>s</tex>. Свойства остаются прежними. [[Эвристики для поиска кратчайших путей|Эвристическая функция]] <tex>h(s,s')</tex> теперь должна быть неотрицательная и обратно-устойчивая, т.е. <tex>h(f,f) = 0</tex> и <tex>h(f, s) \leqslant h(f,s') + c(s',s)</tex> для всех <tex>s \in S</tex> и <tex>s' \in Pred(s)</tex>. Очевидно, что при движении робота <tex>f</tex> изменяется, поэтому данные свойства должны выполняться для всех <tex>f \in V</tex>. Дополнительное условие выхода также меняется, т.е. при <tex>g(f) = +\infty</tex> путь не найден на данной итерации. Иначе путь найден и "робот" может проследовать по нему. '''Примечание''': Так же следует отметить, что функция '''Initialize''' не обязана инициализировать абсолютно все вершины перед стартом алгоритма. Это важно, так как на практике число вершин может быть огромным, и только немногие будут пройдены роботом в процессе движения. Так же это дает возможность добавления/удаления ребер без потери устойчивости всех подграфов данного графа. === Псевдокод ===При такой постановке задачи псевдокод не сильно меняется, но функция '''Main''' все-таки претерпевает значительные изменения.  '''function''' calcKey(s): '''return''' [min(g(s), rhs(s)) + h(f,s), min(g(s), rhs(s))]  '''function''' initialize(): U = <tex>\varnothing</tex> '''for''' s <tex>\in</tex> V rhs(s) = g(s) = <tex>+\infty</tex> rhs(t) = 0 U.insert(t, calcKey(t))  '''function''' UpdateVertex(u): '''if''' u <tex>\ne</tex> t rhs(u) = <tex>\min\limits_{s' \in Succ(u)}(c(u,s')+g(s'))</tex> '''if''' u <tex>\in</tex> U U.remove(u) '''if''' g(u) <tex>\ne</tex> rhs(u) U.insert(u, calcKey(u))  '''function''' ComputeShortestPath(): '''while''' U.topKey() < calcKey(f) or rhs(f) <tex>\ne</tex> g(f)Initialize u = U.pop() '''if''' (g(u) > rhs(u)) g(u) = rhs(u) '''for''' s <tex>\in</tex> Pred(u) updateVertex(s) '''else''' g(u) = <tex>+\infty</tex> '''for''' <tex>s</tex> <tex>\in</tex> Pred(u) <tex>\cup</tex> {u} updateVertex(s)  '''function''' main(): initialize() computeShortestPath(); '''while ''' <tex>f \ne t</tex> <font color="green">// '''if''' (s_start !g(f) = s_goal<tex>+\infty</tex>) тогда путь на данной итерации не найден.</font> <tex>f</tex> = такая вершина s', что <tex>\min\limits_{s' \in Succ(f)}(c(f, s') + g(s'))</tex> Передвинулись вдоль найденного пути и изменили вершину <tex>f</tex> Сканируем роботом какие-либо изменения в графе или убеждаемся, что граф остается прежним. '''if''' граф изменился '''for''' всех ориентированных ребер <tex>(u, v)</tex> с измененными весами: Обновляем результат функции <tex>c(u, v)</tex> updateVertex(u) '''for''' <tex>s</tex> <tex>\in</tex> U U.update(s, CalcKey(s)) computeShortestPath() === Асимптотика === {{Теорема|author=Свен Кёниг|about=Об устойчивой насыщенности вершин|statement=Функция '''ComputeShortestPath''' в данной версии алгоритма ''расширяет'' вершину максимум 2 раза, а именно 1 раз, если вершина ненасыщена, и максимум 1 раз, если она переполнена.|proof=Доказательство [http://www.cs.cmu.edu/~maxim/files/aij04.pdf]}} == Алгоритм D* (Вторая версия) == === Описание ===В первой версии алгоритма была серьезная проблема в том, что для каждой вершины в приоритетной очереди нужно было обновлять ключ суммарно за <tex>O(n \cdot \log(n))</tex>. Это дорогая операция, так как очередь может содержать огромное число вершин. Воспользуемся оригинальным методом поиска и изменим основной цикл, чтобы избежать постоянного перестроения очереди <tex>U</tex>. Теперь эвристическая функция должна поддерживать неравенство треугольника для всех вершин <tex>s,s',s'' \in V</tex>, т.е. <tex>h(s,s'') \leqslant h(s, s') + h(s',s'')</tex>. Так же должно выполняться свойство <tex>h(s,s') \leqslant c^*(s,s')</tex>, где <tex>c^*(s,s')</tex> - стоимость перехода по кратчайшему пути из <tex>s</tex> в <tex>s'</tex>, при этом <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> не должны быть обязательно смежными. Такие свойства не противоречат свойствами из первой версии, а лишь усиливают их. Допустим, что после того, как робот продвинется вдоль найденного пути на предыдущих итерациях, из вершины <tex>s</tex> в <tex>s'</tex>, он обнаружит изменения в графе. Первая компонента ключей <tex>k_1(s')</tex> может уменьшится максимум на <tex>h(s,s')</tex> (по определению ключа). Вторая компонента не зависит от функции h. Аналогично первой версии алгоритма, мы должны уменьшить первую компоненту ключа у всех вершин в очереди U. Очевидно, что <tex>h(s,s')</tex> будет одинаковым для всех вершин из U. Порядок в очереди не изменится, если произвести уменьшение. Следовательно уменьшение можно отложить, тем самым очередь не придется перестраивать на каждой итерации. Так же исходя из нового определения функции <tex>h</tex>, её значение будет всегда меньше, чем разность первых компонент ключей у соседних по приоритету вершин. Таким образом мы можем добавлять h(s,s') ко всем <tex>k_1(s')</tex> у ключей вершин из U. Будем называть <tex>K_m</tex> ключевым модификатором. В нем мы и будет хранить сумму <tex>h(s,s')</tex>, которые нужно добавить ко всем вершинам из U. === Псевдокод ===  '''function''' calcKey(s): '''return''' [min(g(s), rhs(s)) + h(f, s) + <tex>K_m</tex>, min(g(s), rhs(s))]  '''function''' initialize(): U = <tex>\varnothing</tex> <tex>K_m = 0</tex> '''for''' s <tex>\in</tex> V rhs(s) = g(s) = <tex>+\infty</tex> rhs(t) = 0 U.insert(t, CalcKey(t))  '''function''' updateVertex(u): '''if''' u <tex>\ne</tex> t rhs(u) = <tex>\min\limits_{s' \in Succ(u)}(c(u,s')+g(s'))</tex> '''if''' u <tex>\in</tex> U U.remove(u) '''if''' g(u) <tex>\ne</tex> rhs(u) U.insert(u, calcKey(u))  '''function''' computeShortestPath(): '''while''' U.topKey() < calcKey(f) '''or''' rhs(f) <tex>\ne</tex> g(f) <tex>K_{old}</tex> = U.topKey() u = U.pop() '''if''' <tex>K_{old}</tex> < calcKey(u) U.insert(u, calcKey(u)) '''if''' (g(u) > rhs(u)) g(u) = rhs(u);Wait '''for changes ''' <tex>s</tex> <tex>\in edge costs;</tex> Pred(u) updateVertex(s) '''else''' g(u) = <tex>+\infty</tex> '''for all directed edges ''' <tex>s</tex> <tex>\in</tex> Pred(u;v) with changed edge costs<tex>\cup</tex> <tex>\{u\}</tex> updateVertex(s)  '''function''' main(): <tex>s_{last} = f</tex> initialize() computeShortestPath() '''while''' f <tex>\ne</tex> t <font color="green">// if (g(f) = <tex>+\infty</tex>) тогда путь на данной итерации не найден.</font>Update the edge cost <tex>f</tex> = такая вершина s', что <tex>\min\limits_{s' \in Succ(f)}(c(f, s') + g(s'))</tex> Передвинулись вдоль найденного пути и изменили вершину <tex>f</tex>. Сканируем роботом какие-либо изменения в графе или убеждаемся, что граф остается прежним. '''if''' граф изменился <tex>K_m = K_m + h(s_{last}, h_{start})</tex> <tex>s_{last} = f</tex> '''for''' всех ориентированных ребер (u;, v);с измененными весами:UpdateVertex Обновляем результат функции c(u, v) updateVertex(u) computeShortestPath() === Асимптотика === С помощью введения ключевого модификатора <tex>K_m</tex> и отложенного обновления ключей вершин получилось убрать из итерации алгоритма <tex>O(n \cdot \log(n))</tex> операций, которые тратились на обновление очереди <tex>U</tex>. Очевидно, что на основе теорем, приведенных выше, алгоритм использовал <tex>O(2 \cdot n \cdot \log(n))</tex> операций. Итак, нам удалось уменьшить константу в 2 раза, что дает существенный рост производительности на практических задачах. === Пример работы ==={| class="wikitable" |- | style="width:50%;text-align:center;" | [[Файл:Схема_движения_робота_Dstarv2_1.png|400px]] || style="width:50%;text-align:center;" | [[Файл:Схема_движения_робота_Dstarv2_2.png|400px]] |- | style="width:50%;text-align:center;" | Итерации в функции '''ComputeShortestPath''' на исходном графе. || style="width:50%;text-align:center;" | Итерации в функции '''ComputeShortestPath''' после изменения графа. (Второй вызов функции)|}}}==Источники информации==* [http://en.wikipedia.org/wiki/D* Wikipedia:D*]* [http://idm-lab.org/project-a.html Sven Koenig` web page]* [http://www.cs.cmu.edu/~maxim/files/aij04.pdf LPA*]* [http://pub1.willowgarage.com/~konolige/cs225b/dlite_tro05.pdf D* lite] [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Кратчайшие пути в графах ]]