Изменения

'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex dpi = "160">\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex dpi = "160">A(n, m)</tex>.

{{Определение

}}

Пусть у нас есть некая перестановка <tex dpi = "160"> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex dpi = "160">n</tex> перестановок вида <tex dpi = "160">\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:

:<tex dpi = "160"> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex>

Приведем также без вывода явную формулу для вычисления чисел Эйлера I рода:

[[Файл:Binomial_hist.gif|300px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]

1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть: