Изменения

'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex dpi = "160">\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex dpi = "160">A(n, m)</tex>.{{Определение

Пусть <tex dpi = "130">a</tex> и <tex dpi = "130">b</tex> - — соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex dpi = "130">n</tex> причем <tex dpi = "130">a > < b</tex>. Тогда пара <tex dpi = "130">(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (англ. ''ascent'') данной перестановки.

Пусть у нас есть некая перестановка <tex dpi = "160"> \pi = \pi_1, \pi_2...\ldots \pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером <tex>n </tex> в какую-либо из позиций мы получим <tex dpi = "160">n</tex> перестановок вида <tex dpi = "160">\theta = \theta_1, \theta_2...\ldots \theta_p, n, \theta_q...\ldots \theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:

1. # Количество подъемов в перестановке <tex dpi = "130">\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex dpi = "130">\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex dpi = "130">n</tex> на самое первое место в <tex dpi = "130">\theta</tex> (всего <tex dpi = "160"190>\langle{n- 1\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex dpi = "130">m \times </tex><tex dpi = "160"190> \langle{n- 1\atop m}\rangle </tex> раз).# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex dpi=190>\langle{n - 1\atop m - 1}\rangle</tex>.

Тогда рекуррентная формула имеет вид:  :<tex dpi = "160"190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex> Примем также следующие начальные значения: :<tex dpi = "160"190>\left\langle{n- 1\atop m}\right\rangle = 0</tex>, если <tex dpi = "130">+ (n - m < 0</tex>  Также для четных <tex dpi = "130">k)</tex>::<tex dpi = "160"180>\left\langle{n- 1\atop m- 1}\right\rangle = [m = 0]</tex>, Запись [выражение] означает нотацию Айверсона, где:<tex dpi = "160"> [statement] =</tex><tex dpi = "140"> \begin{cases} 1 & \text{statement} \\ 0 & \text{!statement} \end{cases}</tex>

Рассмотрим все перестановки порядка <tex dpi = "130">4</tex>, в которых есть ровно <tex>2 </tex> подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд)::<tex dpi = "140"190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 11: [124]3, [13][24], [134]2, [14][23], 2[134], [23][14], [23][41], [24][13], 3[124], [34][12], 4[123], </tex>

Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '<tex>4' </tex> в следующие позиции всех перестановок порядка <tex dpi = "130">3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:

:<tex dpi = "140"190> \left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 1:[123] => \Rightarrow (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3

Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex dpi = "130">3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex dpi = "130">4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок подъемов на <tex>1</tex>:

:<tex dpi = "140"190> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle </tex> <tex> = 4:</tex>

:<tex dpi = "140">[13]2 => \Rightarrow [13(4)]2, [13][2(4)];</tex>

:<tex dpi = "140">2[13] => \Rightarrow [2(4)][13], 2[13(4)];</tex>

:<tex dpi = "140">[23]1 => \Rightarrow [23(4)]1, [23][1(4)];</tex>

:<tex dpi = "140">3[12] => \Rightarrow [3(4)][12], 3[12(4)];</tex>

:<tex dpi = "160"190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = (2 + 1) </tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> + (4 - 2)</tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex>  ===Явная формула===Приведем также без вывода явную формулу для вычисления чисел Эйлера I рода: :<tex dpi = "180">\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum_{k=0}^{m}[ (-1)^k {n+1\choose k} (m+1-k)^n]11;</tex>

На значениях <tex dpi = "130">n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex dpi = "130">n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.

::{| class="number_triangle"

Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях ===Явные формулы===:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}</tex>:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n</tex> ===Связь чисел Эйлера I рода аппроксимируется к гистограммес сечениями гиперкубов==={{Теорема|statement=Число <tex>\dfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, построенной на биноминальных коээфициентах ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>.|proof=Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: {{Теорема|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами|statement= Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> — вектор с ненулевыми компонентами (оба графика<tex>w = {w_1, представленные '''справа'''w_2 \ldots w_n}</tex>), смасштабированы; масштаб указан на гистограмме)а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство: <tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \dfrac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [[Файл:Euler_I_hist.gifn]} (-1)^{|300pxK|thumb|Числа Эйлера I рода }(m z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> *< 90tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x)\leqslant z \}</tex> — полупространство;*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;*<tex>[n]:= \{1,2\ldots n\}</tex>;[[Файл*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> — подмножество <tex>\{1,2\ldots n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны <tex>1</tex>, а остальные {{---}} нули; *Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ :Binomial_hist= (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.gif |300px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m proof=С доказательством можно ознакомиться по ссылке <ref>http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf< 60)]]/ref>.}}

[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m =2, n = 1. V = 1/2]][[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n =2. V =Формулы1/6]]Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, формулы суммированиякак мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+\ldots +x_n =m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j =|K|</tex>.

1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то естьТогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей::<tex dpi = "160">\left\langlemathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n\atop ]},m}\right\rangle cap I^{n}) = \left\langledfrac{1}{n!}\atop sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (n-1) - k^{j}\right\rangle,\ {n \ge 1,\ 0 \le k \le choose j}(m-j)^n-1. \, </tex>

2. Сумма всех значений каждого ряда равна Положим <tex>W_n^m</tex> — фигура, образованная сечением гиперкуба <tex dpi = "130"> [0,1]^{n! }</tex>::плоскостями <tex dpi = "160">\sum_sum\limits_{ki=01}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\leftsum\langlelimits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. :<tex>W_n^m := \atop { x \in \mathbb{R} : m}\rightleqslant x \rangle = cdot 1_{[n!,]} \ n leqslant m+1 \ge 0, } \,cap I^{n}</tex>

3Тогда перейдем к следующему равенству: :<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex>:<tex>= \dfrac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex>:<tex> = \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> :<tex> = \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль):<tex> = </tex> <tex>\dfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> (вторая явная формула) }} ===Свойства=== # Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:#:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle</tex><tex>,\ n \geqslant 1,\ 0 \leqslant k \leqslant n-1. Еще одно условие равенства нулю\, </tex># Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:#:<tex>\sum\limits_{m=0}^{n}</tex><tex dpi = "160"190>\sum_left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = n!,\ n \geqslant 0, \,</tex># Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m </tex><tex dpi=190>{\left\langle{n\atop m}\right\rangle}</tex> <tex>{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex># Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\dfrac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.

'''''Числа Эйлера II рода'''''(англ. ''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex dpi = "130">1</tex> до <tex dpi = "130">n</tex> вида <tex dpi = "130">\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex dpi = "130">z</tex> для любого <tex dpi = "130">z</tex>, больше, чем <tex dpi = "130">z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex dpi = "130">m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "160190"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex>

Рассмотрим <tex dpi = "130"> n = 3</tex>. Тогда существует <tex>15 </tex> перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, <tex>8 </tex> штук имеют всего <tex>1 </tex> подъем, и <tex>6 </tex> перестановок имеют <tex>2 </tex> подъема:

:<tex dpi = "140"> 332211,\; </tex>:<tex dpi = "140"> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex> :<tex dpi = "140">1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex>

|statement=Количество перестановок мультимножества <tex dpi = "130">\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex dpi = "130">z</tex> для любого <tex dpi = "130">z</tex>, больше, чем

|neat proof = Докажем лемму методом математической индукции. *'''База'''. Для <tex>n=1</tex> очевидно, что существует только одна такая перестановка.*'''Переход'''. Рассмотрим какую-нибудь перестановку длины <tex>2n</tex>. Таких перестановок <tex>(2n-1)!!</tex>. Теперь докажем, что перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2(n+1)-1)!!</tex>. Попробуем вставить два числа <tex>n + 1</tex>. Очевидно, что их нельзя вставить не на соседние места, так как в таком случае между ними точно будут меньшие элементы. Но их можно вставить в любые два соседних места, так как они больше всех чисел в перестановке, а значит они не нарушат свойства для других элементов. Таким образом два новых элемента можно вставить в <tex>2n+1</tex> место. В итоге перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2n-1)!!\cdot (2n+1)=(2n+1)!!=(2(n+1)-1)!!</tex>.

 ===Рекурсивная Рекуррентная формула===

:<tex dpi = "160"190> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> = (2n-m-1) </tex> <tex dpi=180>\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex> С начальным условием для <tex dpi = "130>n = 0+ (m+1) </tex>::<tex dpi = "160"190> \left\langle \!\! \left\langle {0 n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. , </tex> 

Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \leqslant n \leqslant m \leqslant 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.

:::{| class="number_triangle"

| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''

==СсылкиСм. также ==* [[Комбинаторные_объекты#.D0.9F.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BA.D0.B8|Перестановки]]* [[Числа_Стирлинга_первого_рода|Числа Стирлинга первого рода]]* [[Числа_Стирлинга_второго_рода|Числа Стирлинга второго рода]]* [[Числа_Каталана|Числа Каталана]] ==Примечания==<references/> ==Источники информации==