2
правки
Изменения
→Определения
__TOC__
Пусть дан граф <tex>G == Алгоритм ==Возьмём любую вершину \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex> \max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> и найдём расстояния до всех других вершин— кратчайшее расстояние между вершинами.
=== Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex>d = min\{ v , u \subset graph, v \ne u \}in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = dist(v, ui) </tex>
* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую,что <tex>d[u] >= \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>.Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].
=== Реализация === <span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span> '''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g): v = u = w = 0 d = bfs(g, v) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[u] u = i bfs(g, u) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[w] w = i '''return''' d[w]
=== Обоснование корректности ===
Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.
После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>.
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.
Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист.
Пусть нет, тогда, взяв расстояние от <tex>w</tex> до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.
== Центр дерева ===== Определения ==={{ТеоремаОпределение|statementid =Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.tree|proofdefinition =Пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершинами '''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of avertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v,bu)</tex> , где <tex>bV</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex> - не является листом. Т}}{{Определение|id = tree|definition ='''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ.к''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>. b не является листом}}{{Определение|id = tree|definition ='''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, то значит её степень такая что <tex>>e(v) = r(G)</tex> 1 }}{{Определение|id =tree|definition ='''Центр графа <tex>G</tex> из неё существует ребро в непосещенную вершину ''' (дважды посетить вершину англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>bG</tex> мы не можем). Лемма доказана.
}}
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
[[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]
=== Алгоритм ===
==== Наивный алгоритм ====
Найдём центр графа исходя из его определения.
* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].
* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>.
* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.
Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.
==== Алгоритм для дерева за O(n) ==== {{ЛеммаТеорема
|statement=
|proof=
}}
Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.
* Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.
* Обрежем помеченные вершины.
* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.
* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.
== Источники информации ==
* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]
* ''Ф. Харари'': Теория графов
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов]