85
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. '''Неподвижной точкой''' (стабилизатором) для элемента <tex>g</tex> называется такой элемент <tex>x</tex>,
для которого <tex>gx=x</tex>.
}}
|id=lemmaBerns.
|author=Бёрнсайд
|statement=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Будем называть два элемента <tex>x</tex> и <tex>y</tex> эквивалентными, если <tex>x = gy</tex> для некоторого <tex>g \in G</tex>. Тогда число классов эквивалентности равно сумме числа неподвижных точек стабилизаторов по всем элементам группы <tex>G</tex>, делённой на размер этой группы:
<tex> |C| = </tex> <tex dpi = "180">\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex>. Где <tex>I(k)</tex> {{---}} количество неподвижных точек стабилизаторов для элемента <tex>k</tex>.
|proof=
Так как <tex>I(k)</tex> - сумма неподвижных точек для стабилизаторов элемента <tex>k</tex>, то по определению <tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex>.
Следовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство:
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex>
}}
==Задача о раскрашивании прямоугольника==
{{Определение
|definition=Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника <tex>[n \times m]</tex> в <tex>k</tex> цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси.
}}
Решим данную задачу, воспользуясь леммой Бёрнсайда.
'''Решение'''
Для начала определим, какие операции определены на группе <tex>G</tex> --- это операция "отражение относительно горизонтальной оси", обозначим ее как <tex>\alpha</tex> и "отражение относительно вертикальной оси" - <tex>\beta</tex>.
Таким образом, <tex>G</tex> содержит 4 комбинации операций: <tex>G = \{e, \alpha, \beta, \alpha \circ \beta \}</tex>.
Стоит уделить особое внимание тому факту, что никакие иные комбинации функций <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> не были включены в <tex>G</tex>. Это объясняется довольно просто: очевидно то, что операции коммутативны, то есть <tex>\alpha \circ \beta = \beta \circ \alpha</tex>, а также то, что <tex>\alpha \circ \alpha = \beta \circ \beta = e</tex>, тогда любая комбинация данных функций может быть упрощена до вышеперечисленных (в <tex>G</tex>) путем совмещения одинаковых и замены их на <tex>e</tex>.
Отметим также то, что количество раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов:
:1. С точностью до операции <tex>\alpha</tex> при нечетном <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов.
:2. С точностью до операции <tex>\beta</tex> при нечетном <tex>n</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов.
:3. С точностью до операции <tex>\alpha \circ \beta</tex> при нечетных <tex>n</tex> и <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов (а также частные случаи, когда <tex>n</tex> или <tex>m</tex> нечетные).
Количество стабилизаторов в случае с действием <tex>e</tex> равно <tex>k^{nm}</tex>, так как ни одна раскрашенная клетка не повторилась при действии нулевого действия. Для действий <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> количество раскрасок будет <tex>k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n}</tex> и <tex>k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m}</tex> соответственно.
Тогда воспользуемся Леммой Бёрнсайда и определим количество таких раскрасок.
:<tex dpi = "180"> |C| = </tex> <tex>\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = \frac{I_1 + I_2 + I_3 + I_4}{4} = </tex>
:<tex dpi = "180"> = \frac{k^{nm}+k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}{\lceil \frac{m}{2} \rceil}}}{4}</tex>
==См. также==
