299
правок
Изменения
→Существование. Оценки сверху
{{Определение|definition=Пусть <tex>m, n \in \mathbb N</tex>. Число Рамсея <tex>r(m, n)</tex> — это наименьшее из таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске ребер полного графа на <tex>x</tex> вершинах в два цвета найдется граф на <tex>n</tex> вершинах с ребром цвета 1 или граф на <tex>m</tex> вершинах с ребром цвета 2.}}
===Существование. Оценки сверху===
{{Теорема|id=t1|author=P. Erdos, G. Szekeres
|statement=Пусть <tex>n,m>=2</tex>-натуральные числа. Тогда <tex>r(n,m)<=r(n,m-1)+r(n-1,m)</tex>. Если оба числа <tex>r(n,m-1)</tex> и <tex>r(n-1,m)</tex>-четные, то неравенство строгое.
|proof=
1) Рассмотрим граф на <tex>r(n, m — 1) + r(n — 1, m)</tex> вершинах с рёбрами цветов 1 и 2 и ее произвольную вершину <tex>a</tex>. Тогда либо от вершины <tex>a</tex> отходит хотя бы <tex>r(n, m — 1)</tex> рёбер цвета 2, либо от вершины <tex>a</tex> отходит хотя бы <tex>r(n—1, m)</tex> рёбер цвета 1. Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и граф на <tex>r(n, m — 1)</tex> вершинах, соединенных с <tex>a</tex> рёбрами цвета 2. На этих вершинах есть либо граф на <tex>n</tex> вершинах с ребрами цвета 1, либо граф на <tex>m—1</tex> вершинах с рёбрами цвета 2. Во втором случае добавим вершину <tex>a</tex> и получим граф на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета 2. Теперь из определения <tex>r(n, m)</tex> следует [[#t1|неравенство]].
2) Рассмотрим граф на r(n, m—l)+r(n—1, m) —1 вершинах с рёбрами цветов 1 и 2 и его произвольную вершину a. Если вершине a инцидентны хотя бы r(n,m — 1) рёбер цвета 2 или хотя бы r(n — 1,m) рёбер цвета 1, то мы найдём граф на n вершинах с рёбрами цвета 1 или граф на m вершинах с рёбрами цвета 2. Остаётся лишь случай, когда вершине а инцидентны ровно r(n, m — 1) — 1 рёбер цвета 2, то же самое для всех остальных вершин. Это означает, что в графе из рёбер цвета 2 всего r(n, m — 1) + r(n — 1, m) — 1 вершин и степень каждой вершины равна r(n, m — 1) — 1. Однако, тогда в графе нечётное количество вершин нечётной степени. Противоречие показывает нам, что в случае, когда r(n, m — 1) и r(n — 1,m) — чётные, выполняется неравенство r(n, m) < r(n, m— 1) + r(n — 1, m) — 1.
}}
===Экстремальные примеры и оценки снизу===
===Числа Рамсея для раскрасок в несколько цветов===
