Изменения

Точки, через которые можно провести параллельные опорные прямые, будем называть '''противоположнымипротиволежащими''' (англ. ''antipodal'').

Благодаря предыдущей теореме нам нужно рассмотреть только противоположные противолежащие точки. Задача в том, чтобы рассмотреть их, не перебирая все пары точек.

|Рассмотрим рисунок справа. <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} опорные прямые, проходящие через вершины <tex>A</tex> и <tex>D</tex> соответственно. Значит, <tex>\langle A,D \rangle</tex> {{---}} противоположная противолежащая пара точек. Если начать вращать прямые против часовой стрелки вокруг данных точек, они будут оставаться опорными прямыми, пока одна из прямых не станет накладываться на сторону многоугольника. В нашем примере, при вращении <tex>M</tex> к позиции <tex>M'</tex>, <tex>M</tex> коснётся точки <tex>E</tex> раньше, чем <tex>L</tex> коснётся <tex>B</tex>, поэтому <tex>\langle A,E \rangle</tex> становится новой парой противоположных противолежащих точек.

Теперь <tex>M'</tex> будет вращаться вокруг <tex>E</tex>, а <tex>L'</tex> продолжит вращаться вокруг <tex>A</tex>, и следующей парой противоположных противолежащих точек станет <tex>\langle B,E \rangle</tex>. Продолжая таким образом, мы сгенерируем все пары противоположных противолежащих точек, так как параллельные линии пройдут под всеми возможными углами. Определение новой пары противоположных противолежащих точек требует только одного сравнения углов, которое можно выполнить с помощью предиката поворота.