Изменения
Нет описания правки
# Обратная аксиома баз. Докажите, что если $B_1$ и $B_2$ - базы матроида, то для любого $y \in B_2 \setminus B_1$ найдется $x \in B_1 \setminus B_2$, такой что $B_1 \setminus x \cup y$ тоже база.
# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую констркуцию: $M^* = \langle X, \{A | \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
# Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
# Докажите теорему об аксиоматизации циклами.
# Докажите теорему о рангах.
# Докажите теорему об аксиоматизации рангами.
# Докажите теорему о замыкании.
# Докажите теорему об аксиоматизации замыканиями.
# Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксимомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
