Изменения

|statement=Если два отрезка на сфере пересекаются, то все их четыре точки находятся в одной полусфере.

|proof=

Пусть отрезки: <tex>AB</tex> и <tex>CD</tex>. Точка пересечения <tex>X</tex>. Центр сферы - начало координат <tex>O</tex>.

Найдем нужную полусферу. Это будет полусфера от окружности точек <tex>A</tex> и <tex>C</tex>, ориентированная так, чтобы содержать <tex>X</tex>.Проведем плоскость <tex>OAX</tex>, пересечем ее со сферой. На полученной окружности возьмем точку <tex>A'</tex> - диаметрально противоположную точке <tex>A</tex>. Точка <tex>B</tex> находится в нашей полусфере, потому что она находится "ближе" точки <tex>A'</tex>. Если бы она была дальше точки <tex>A'</tex>, то мы бы провели отрезок <tex>AB</tex> через другую половину сферы, и соответственно, точка <tex>X</tex> была бы не в выбранной полусфери.