Изменения

'''Алгоритм Бойера-Мура''', разработанный двумя учеными {{---}} Бойером (Robert S. Boyer) и Муром (J. Strother Moore), считается наиболее быстрым среди алгоритмов общего назначения, предназначенных для поиска подстроки в строке. Важной особенностью алгоритма является то, что он выполняет сравнения в шаблоне справа налево в отличии отличие от многих других алгоритмов.

Алгоритм сравнивает символы шаблона <tex>yx</tex> справа налево, начиная с самого правого, один за другим с символами исходной строки <tex>xy</tex>. Если символы совпадают, производится сравнение предпоследнего символа шаблона и так до конца. Если все символы шаблона совпали с наложенными символами строки, значит, подстрока найдена, и поиск окончен. В случае несовпадения какого-либо символа (или полного совпадения всего шаблона) он использует две предварительно вычисляемых эвристических функций, чтобы сдвинуть позицию для начала сравнения вправо. Область определения одной из функций зависит линейно от размера алфавита <tex>\Sigma</tex>

Пусть <tex>|y|=n</tex>Таким образом для сдвига позиции начала сравнения алгоритм Бойера-Мура выбирает между двумя функциями, <tex>|x|=m</tex> называемыми эвристиками хорошего суффикса и <tex>|\Sigma|=\sigma</tex>плохого символа (иногда они называются эвристиками совпавшего суффикса и стоп-символа). Так как функции эвристические, то выбор между ними простой {{---}} ищется такое итоговое значение, чтобы мы не проверяли максимальное число позиций и при этом нашли все подстроки равные шаблону.

Алфавит обозначим буквой <tex>\Sigma</tex>. Пусть <tex>|y|=n</tex>, <tex>|x|=m</tex> и <tex>|\Sigma|=\sigma</tex>. Предположим, что в процессе сравнения возникает несовпадение между символом <tex>x[i]=a</tex> шаблона и символом <tex>y[i+j]=b</tex> исходного текста при проверке в позиции <tex>j</tex>. Тогда <tex>x[i+1 .. \dots m-1]=y[i+j+1 .. \dots j+m-1]=u</tex> и <tex>x[i] \neq y[i+j]</tex>, т.е. и <tex>m - i - 1</tex> символов шаблона уже совпало.

Если существует такая подстрока существуют такие подстроки равные <tex>u</tex>, что она они полностью входит входят в <tex>x</tex> и идет идут справа от символасимволов, отличного отличных от <tex>x[i]</tex>, то сдвиг идет происходит к самой правой из них, отличной от <tex> u </tex>. Понятно, что таким образом мы не пропустим никакую строку, так как сдвиг просходит на всю длину этого следующую слева подстроку <tex> u </tex> от суффикса. После выравнивания шаблона по этой подстроке сравнение шаблона опять начнется с его последнего символа. На новом шаге алгоритма можно строку <tex> u </tex>, по которой был произведён cдвиг, не сравнивать с текстом {{---}} возможность для модификации и дальнейшего ускорения алгоритма.

[[Файл:boyer-moore-algorithm-1.gifpng|450px|thumb|center|'''Сдвиг хорошего суффикса''', вся подстрока <tex>u</tex> полностью встречается справа от символа <tex>c</tex>, отличного от символа <tex>a</tex>.]]

Если не существует такой подстрокитаких подстрок, то смещение состоит в выравнивании самого длинного суффикса <tex>v</tex> подстроки <tex>y[i+j+1 .. \dots j+m-1]</tex> с соответствующим префиксом <tex>x</tex>. Из-за того, что мы не смогли найти такую подстроку, то, очевидно, что ни один суффикс шаблона <tex>x</tex> уже не будет лежать в подстроке <tex>y[i+j+1 \dots j+m-1]</tex>, поэтому единственный вариант, что в эту подстроку попадет префикс.

[[Файл:boyer-moore-algorithm-2.gifpng|450px|thumb|center|'''Сдвиг хорошего суффикса''', только суффикс подстроки <tex>u</tex> повторно встречается в <tex>x</tex>.]]

В таблице плохих символов указывается последняя позиция в шаблоне (исключая последнюю букву) каждого из символов алфавита. Для всех символов, не вошедших в шаблон, пишем <tex>m</tex>. Предположим, что у нас не совпал символ <tex>c</tex> из текста на очередном шаге с символом из шаблона. Очевидно, что в таком случае мы можем сдвинуть шаблон до первого вхождения этого символа <tex>c</tex> в шаблоне, т.к. потому что совпадений других символов точно не может быть. Если в шаблоне такого символа нет, то можно можно сдвинуть весь шаблон полностью.

Операция '''сдвига плохого символа''' состоит в выравнивании символа Если символ исходного текста <tex>уy[i + j]</tex> встречается в шаблоне <tex>x</tex>, то происходит его выравнивание с его самым правым появлением в подстроке <tex>x[0 .. \dots m-2]</tex>.

[[Файл:boyer-moore-algorithm-3.gifpng|450px|thumb|center|'''Сдвиг плохого символа''', символ <tex>a</tex> входит в <tex>x</tex>.]]

Если <tex>y[i+j]</tex> не встречается в шаблоне <tex>x</tex>, то ни одно вхождение <tex>x</tex> в <tex>y</tex> не может включать в себя <tex>y[i+j]</tex>, и левый конец окна сравнения совмещен с символом непосредственно идущим после <tex>y[i+j]</tex>, т.е. то есть символ <tex>y[i+j+1]</tex>.

[[Файл:boyer-moore-algorithm-4.gifpng|450px|thumb|center|'''Сдвиг плохого символа''', символ <tex>b</tex> не входит в <tex>x</tex>.]] Обратите внимание, что сдвиг плохого символа может быть отрицательным, поэтому исходя из ранее приведенных свойств этих функций берется значение равное максимуму между сдвигом хорошего суффикса и сдвигом плохого символа.

Более формально Теперь определим две функции сдвигов определяются более формально следующим образом:

* <tex>\mathrm{Cs}(i, s)</tex>: для каждого <tex>k</tex> такого, что <tex>i < k < m</tex> выполняется <tex>s \geqslant k</tex> или <tex>x[k-s]=x[k]</tex>* <tex>\mathrm{Co}(i, s)</tex>: если <tex>s < i</tex>, то выполняется <tex>x[i-s] \neq x[i]</tex> Тогда для всех <tex>i</tex> таких, что <tex>0 \leqslant i < m</tex> выполняется <tex>bmGs[i+1]=\min\{s > 0 : \mathrm{Cs}(i, s)\ \wedge\ \mathrm{Co}(i, s)\}</tex>.

Тогда для всех <tex>i</tex> таких, что <tex>0 \leqslant i < m</tex> выполняется <tex>bmGs[i+1]=\min\{s > 0 : Cs(i, s)\ and\ Co(i, s)\}</tex>. А значение <tex>bmGs[0]</tex> определим, как длину периода шаблона <tex>x</tex>.

Для вычисления <tex> bmGs </tex> будем использовать массив функцию <tex>suff\mathrm{suffixLength}</tex>, определенный определенную так:для всех <tex>i</tex> таких, что <tex>1 \leqslant i < m</tex> выполняется <tex>suff[\mathrm{suffixLength}(i])=\max\{k : x[i-k+1 .. \dots i]=x[m-k .. \dots m-1]\}</tex>

\min\{i : 1 \leqslant i < m-1\ and\wedge\ x[m-1-i]=c\}, & \mbox{if } c \in x\\

Массивы <tex>bmBc</tex> и <tex>bmGs</tex> вычисляются за <tex>O(m^2+\sigma)</tex> времени до основной фазы поиска и требуют, очевидно, <tex>O(m+\sigma)</tex> памяти.

==Псевдо-кодПсевдокод==Константой <tex>|\Sigma|=\sigma=ASIZE</tex> обозначим размер нашего алфавита.

Функция для вычисления таблицы сдвигов плохих символов. Она будет равна длине шаблона для всех символов, которые не встречаются в шаблоне, и порядковому номеру с конца для остальных (кроме последнего, для него тоже берется длина шаблона). Вычисляется прямо по определению за <tex>O(m+\sigma)</tex>. '''int'''[] '''preBmBc'''('''stringchar''' [m] x, '''int''' m): '''int''' bmBctable<tex>[ASIZE</tex> <tex>|\Sigma|</tex> <tex>]</tex> <font color=green>// Значение Заполняем значением по умолчанию = m, равным длине шаблона</font> '''for''' i = 0 .. ASIZE<tex>|\Sigma|</tex> -1 bmBctable[i] = m <font color=green>// Вычисление функции по определению</font>

bmBctable[x[i]] = m - 1 - i - 1 '''return''' bmBc Функция для вычисления таблицы суффиксов. Она находит для каждой позиции в шаблоне <tex>x</tex> максимальную длину суффикса <tex>x</tex>, который повторяется в строке и заканчивается в данной позиции. table

Функция, проверяющая, что подстрока <tex>x[p \dots m - 1]</tex> является префиксом шаблона <tex>x</tex>. Требует <tex>O(m - p)</tex> времени. '''boolean''' isPrefix('''char'''Примеры[m] x, '''int''' p): '''int''' j = 0{| class '''for''' i ="wikitable"p .. m - 1 '''if''' x[i] ! Строка || Значение функции= x[j]|-| abcabcabc || 0, 0, 3, 0, 0, 6, 0, 0, 9 '''return''' false|- ++j| abcabcc || 0, 0, 1, 0, 0, 1, 7|} '''return''' true

ТакжеФункция, очевидновозвращающая для позиции <tex>p</tex> длину максимальной подстроки, что значение функции для последнего элемента будет равно длине всей строкикоторая является суффиксом шаблона <tex>x</tex>. Требует <tex>O(m - p)</tex> времени.//здесь неправильно, нет смысла сравнивать элементы ШАБЛОНА С САМИМ СОБОЙ '''int'''[] suffixLength('''suffixeschar'''(string [m] x, '''int m''' p): '''int''' f len = 0 '''int''' suff[m] suff[m - 1] i = mp '''int''' g j = m - 1 '''forwhile''' i = m - 2 .. <tex>\geqslant</tex> 0 '''ifand''' i > g and suff[i + m - 1 - f] < i - g suffx[i] = suff= x[i + m - 1 - fj] '''else''' '''if''' i < g g = i++len f = --i '''while''' g >= 0 and x[g] == x[g + m - 1 - f] --g suff[i] = f - gj '''return''' sufflen

Функция для вычисления сдвигов хороших суффиксов. Требует <tex>O(m)</tex> времени, несмотря на циклы в вызываемых функциях, из-за того, что каждый внутренний цикл в худшем случае будет выполняться на каждой позиции <tex>i</tex> не больше, чем <tex>i</tex> раз. Получается натуральный ряд, сумма <tex>m</tex> первых членов которого <tex dpi="150">\frac{m \cdot (m - 1)}{2}</tex>. Следовательно, получается оценка по времени <tex>O(m^2)</tex>. '''voidint''' [] preBmGs('''preBmGschar'''(string [m] x, int m): '''int''' i, j, sufftable[XSIZEm] '''int''' bmGs[] suff = suffixes(x, m) '''for''' i lastPrefixPosition = 0 .. m - 1 bmGs[i] = m j = 0

<font color=green>// Если подстрока x[i+1..m-1] является префиксом, то запомним её начало</font> '''if''' suff[isPrefix(x, i] =+ 1) lastPrefixPosition = i + 1 '''while''' j < table[m - 1 - i '''if''' bmGs[j] == m bmGs[j] = lastPrefixPosition - i + m - 1 - i ++j <font color=green>// Вычисление функции по определению</font>

bmGs'''int''' slen = suffixLength(x, i) table[m - 1 - suff[i]slen] = m - 1 - i+ slen '''return''' table

'''voidfunction''' BM('''BMchar'''(string x[n] y, int '''char'''[m, string y, int n] x):'''vector <int>''' '''vector <int>''' answer <font color=green>// вектор, содержащий все вхождения подстроки в строку</font> '''if''' bmGs[m]== 0 answer.pushBack(-1) <font color=green>// Искомая подстрока является пустой</font> '''intreturn''' bmBc[ASIZE]answer <font color=green>//Предварительные вычисления</font> bmGs '''int'''<tex>[</tex> <tex>|\Sigma|</tex> <tex>]</tex> bmBc = preBmGspreBmBc(x, m) bmBc '''int'''[m] bmGs = preBmBcpreBmGs(x, m) <font color=green>//Поиск подстроки</font> '''intfor''' j = 0 '''while''' j <i = m - 1 .. n - m1 '''int''' i j = m - 1 '''while''' i >= 0 and x[ij] == y[i + ] '''if''' j]== 0 answer.pushBack(i) <font color=green>// Найдена подстрока в позиции i</font>

--j i += max(bmGs[m - 1 - j], bmBc[y[i]]) '''if''' i (answer == <tex> \varnothing < 0/tex>) OUTPUT answer.pushBack(j-1) <font color=green>// Найдена Искомая подстрока в позиции jне найдена</font> '''return''' answer ==Пример==Пусть нам дана строка <tex>y = GCATCGCAGAGAGTATACAGTACG</tex> и образец <tex>x=GCAGAGAG</tex>. Построим массивы <tex>bmBc</tex> и <tex>bmGs</tex> : [[Файл:RaitaPre.png|250px]] [[Файл:Crochemore.png|300px]] Рассмотрим шаги алгоритма: {| class = "wikitable"! Изображение !! <tex>(j += , bmGs[0y[j]] )<font color/tex> !! Описание|-align=green"center"|[[Файл:BMexample1.png|550px]]|<tex>(7, 1)<//Очевидноtex>|Сравниванием последние символы, они неравны, что можем сделать сдвиг поэтому сдвигаемся на период<tex> bmGs[y[j]]</tex>, тгде <tex>y[j]</tex> {{---}} это не совпавший символ.кВ данном случае <tex>y[j]=7</tex>, а <tex> bmGs[7]= 1</tex>. там явно не будет совпадений|-align="center"|[[Файл:BMexample2.png|550px]]|<tex>(8, 4)</fonttex> '''else'''|Последние символы совпали. Предпоследние совпали. Третьи символы с конца различны, сдвигаемся на <tex> bmGs[5]= 4</tex>. j +|-align= MAX"center"|[[Файл:BMexample3.png|550px]]|<tex>(12, 7)</tex>|Последние символы совпали, сравниваем далее. Строчка найдена. Продолжаем работу и сдвигаемся на <tex> bmGs[i0]= 7</tex>.|-align="center"|[[Файл:BMexample4.png|550px]]|<tex>(19, bmBc4)</tex>|Последние символы совпали. Предпоследние совпали. Третьи символы с конца различны, сдвигаемся на <tex> bmGs[5]= 4</tex>.|-align="center"|[y[i + jФайл:BMexample5.png|550px]] |<tex>(23, 7)</tex>|Последние символы совпали, предпоследние различны. Алгоритм закончил работу.|- align="center"|} В итоге, чтобы найти одно вхождение образца длиной <tex>m + 1 + i)= 8</tex> в образце длиной <tex>n = 24</tex>, нам понадобилось <tex>17</tex> сравнений символов.

* Фаза предварительных вычислений требует <tex>O(m ^2 + \sigma)</tex> времени и памяти.

* В лучшем случае требует <tex > \Omega \left( \dfrac{n}{m} \right)</tex> сравнений. '''Пример:'''Исходный текст <tex>bb \dots bb</tex> и шаблон <tex>abab \dots abab</tex>. Из-за того, что все символы <tex>b</tex> из текста повторяются в шаблоне <tex>\dfrac{m}{2}</tex> раз, эвристика хорошего суффикса будет пытаться сопоставить шаблон в каждой позиции (суммарно, <tex>n</tex> раз), а эвристика плохого символа в каждой позиции будет двигать строку <tex>\dfrac{m}{2}</tex> раз. Итого, <tex>O(n / \cdot m)</tex> сравнений.

В 1991 году Р==Варианты=====Алгоритм Бойера — Мура — Хорспула===Этот алгоритм работает лучше Бойера-Мура на случайных текстах — для него оценка в среднем лучше.Коул доказал следующую теорему:{{ТеоремаАлгоритм использует только сдвиги плохих символов, при этом за такой символ берётся символ из исходного текста, который соответствует последнему символу шаблона, независимо от того, где случилось несовпадение.Поскольку реальные поисковые образцы редко имеют равномерное распределение, алгоритм Бойера-Мура-Хорспула может дать как выигрыш, так и проигрыш по сравнению с стандартной реализацией.|author=Richard Cole==Алгоритм Чжу — Такаоки===|statement=В худшем случае требуется На коротких алфавитах сдвиги плохих символов не помогают уже на коротких суффиксах. Простейший способ улучшить работу алгоритма в таких условиях — вместо одного плохого символа строить таблицу для пары символов: несовпавшего и идущего перед ним. Такой алгоритм получил собственное имя: алгоритм Чжу — Такаоки.На предварительную обработку расходуется <tex>O(3 m+\cdot nsigma^2)</tex> сравнений в случае шаблона с периодом равным длине самого шаблонавремени.|proof=Доказательство [http://www.cs.nyu.edu/cs/faculty/cole/papers/CHPZ95.ps]}}

* На больших алфавитах (относительно длины шаблона) алгоритм чрезвычайно быстрый и требует намного меньше памяти относительно , чем [[Алгоритм Ахо-Корасик|алгоритма алгоритм Ахо-Корасик]].* Алгоритм проще большинства алгоритмов поиска (при некоторых реализациях объем кода сравним с [[Наивный_алгоритм_поиска_подстроки_в_строке|наивным поиском]])* Позволяет добавить множество модификаций, таких как поиск подстроки, включающей ''любой символ (?)'' (но для реализации ''множества символов (*)'' не походитподходит, т.к. так как длина шаблона должна быть известна заранее).

* На искусственно подобранных неудачных текстах (например, шаблон "abcabcabcabcabc") скорость алгоритма Бойера-Мура серьёзно снижается. ==Варианты=====Алгоритм Бойера — Мура — Хорспула===Этот алгоритм работает лучше Бойера-Мура на случайных текстах — для него оценка в среднем лучше.Алгоритм использует только сдвиги плохих символов, при этом за такой символ берётся символ из исходного текста, который соответствует последнему символу шаблона, независимо от того, где случилось несовпадение.Поскольку реальные поисковые образцы редко имеют равномерное распределение, алгоритм Бойера-Мура-Хорспула может дать как выигрыш, так и проигрыш по сравнению с стандартной реализацией.===Алгоритм Чжу — Такаоки===На коротких алфавитах сдвиги плохих символов не помогают уже на коротких суффиксах. Простейший способ улучшить работу алгоритма в таких условиях — вместо одного плохого символа строить таблицу для пары символов: несовпавшего и идущего перед ним. Такой алгоритм получил собственное имя: алгоритм Чжу — Такаоки.На предварительную обработку расходуется <tex>O(m+\sigma^2)</tex> времени.

==СсылкиИсточники информации==