308
правок
Изменения
Нет описания правки
: <tex> M_2^* = \; \langle X, I_2 \rangle </tex> {{---}} по второму.
Необходимо показать: <tex> I_1 = I_2 </tex>
* <tex> A \in I_1 \Rightarrow A \in I_2 </tex>
*: Для начала покажем от противного, что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \in B </tex>.
*:: Предположим <tex> C \in I </tex> - множество максимального размера среди таких, что <tex> A \in C </tex>, причём <tex> C </tex> {{---}} не база. Возмём также какое-нибудь <tex> B \in \mathcal B</tex>.
*:: Раз <tex> C </tex> не база, то <tex> |C| < |B| </tex>. В таком случае по [[Определение_матроида | 3-ему свойству матроида]] <tex> \exists b \in B: \ C \cap b \in I </tex>. Получили противоречие, поскольку <tex> C \cap b </tex> имеет большую мощность чем <tex> C </tex>.
*: Итак, возьмём <tex> B </tex> {{---}} базу <tex> M_1^* </tex>, включающую в себя <tex> A </tex>. По '''определению 1''' <tex>B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B </tex>. Поскольку <tex> B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B </tex>, то <tex> A \cap \overline B = \varnothing </tex>. В таком случае по '''определению 2''' <tex> A \in I_2 </tex> .
* <tex> A \in I_2 \Rightarrow A \in I_1 </tex>
*: <tex> A \in I_2 </tex> означает что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing </tex>. Последнее можно записать иначе: <tex> A \subseteq \overline B </tex>.
*: Кроме того <tex> B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 </tex> по определению <tex> M_1^* </tex>. То есть Получили <tex> A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 </tex>, откуда следует <tex> A \in I_1 </tex> .
}}
