Изменения
Нет описания правки
{{Определение|definition== Многопоточная сортировка слиянием ==Благодаря тому, что сортировка слиянием построена на принципе "Разделяй Пусть дан фиксированный граф <tex>G</tex> и властвуй", выполнение данного алгоритма можно весьма эффективно распараллелитьфиксированное число красок <tex>x</tex>. Количество способов правильной <tex>x</tex> — [[Раскраска графа|раскраски графа]] <tex>G</tex> называется '''хроматическим многочленом''' (англ. При оценке асимптотики допускается, что возможен запуск неограниченного количества независимых процессов, что на практике не достижимо''chromatic polynomial''). Более тогоОбозначение: <tex>P(G, при реализации имеет смысл ограничить количество параллельных потоковx)</tex>.===Сортировка с однопоточным слиянием===Внесем в алгоритм сортировки слиянием следующую модификацию: будем сортировать левую и правую части массива параллельно.}}
===Сортировка с многопоточным слияниемХроматический многочлен простой цепи ===Приведем псевдокод алгоритмаПусть <tex>T_n</tex> — простая цепь, использующего слияние состоящая из <tex>n</tex> вершин. Рассмотрим процесс раскраски простой цепи: первую вершину можно покрасить в один из предыдущего раздела, сортирующего элементы <mathtex>A[leftA \dots rightA]x</mathtex> цветов, вторую и помещающего отсортированный массив последующие в один из <mathtex>B[leftB \dots leftB + rightA x - 1</tex> цветов (т.е. так, чтобы цвет не совпадал с предыдущей вершиной). Тогда <tex>P(T_n, x) = x(x - 1) ^ {n - leftA]1}</mathtex>.
{{Теорема|about=2|statement=Старший коэффициент хроматического многочлена равен <tex>1</tex>.|proof=ЛитератураВоспользуемся рекуррентной формулой:<br/><tex>P(G,x) =P(G_{1},x) + P(G_{2},x)</tex>,<br/>где <tex>G_{1}</tex> — граф, полученный из <tex>G</tex> добавлением отсутствующего в <tex>G</tex> ребра <tex>uv</tex>, а <tex>G_{2}</tex> — граф, полученный из <tex>G</tex> слиянием вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в одну и удалением возникших при этом кратных ребер.Применяя рекуррентную формулу повторно, хроматический полином можно представить в виде суммы хроматических полиномов полных графов, то есть:<br/><tex>P(G,x) ={P(K_{n},x) + a_{1}P(K_{n-1},x) + a_{2}P(K_{n-2},x) + \ldots =x^{\underline{n}} + a_{1}x^{\underline{n-1}}+a_{2}x^{\underline{n-2}}+\ldots}</tex><br/>Из этой формулы видно, что хроматический многочлен имеет старший коэффициент, равный <tex>1</tex>.}} {{Теорема|about=3|statement=Коэффициенты хроматического многочлена составляют знакопеременную последовательность.|proof=Индукция по количеству вершин.<br/>'''База индукции:'''<br/>Теорема верна для графа <tex>G</tex> из одной вершины, потому что <tex>P(G,x)=x</tex>.<br/>'''Индукционный переход''' (<tex>n \to n+1)</tex>:<br/>Предположим, что теорема верна для всех графов на <tex>n</tex> вершинах. Рассмотрим графы на <tex>n+1</tex> вершине.Cormen TИндукционный переход будем доказывать индукцией по количеству ребер графа <tex>G</tex>.HЕсли <tex>G</tex> не содержит ребер, то есть <tex>G</tex> является <tex>O_{n+1}</tex>, то его хроматический многочлен <tex>P(G,x)=x^{n+1}</tex> обладает доказываемым свойством.Теперь предположим, что для всех <tex>(n+1, Leiserson Cm)</tex>-графов теорема верна.EВозьмем <tex>(n+1,m+1)</tex>-граф <tex>G_{1}</tex> и его ребро <tex>uv</tex>.Обозначим за <tex>G</tex> граф, Rivest Rполученный из <tex>G_{1}</tex> удалением ребра <tex>uv</tex> (<tex>G=G_{1}-uv</tex>), а за <tex>G_{2}</tex> — граф, полученный из <tex>G_{1}</tex> слиянием вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex>.LТогда из рекуррентной формулы следует:<br/><tex>P(G_{1},x)=P(G,x)-P(G_{2},x)</tex>.Так как <tex>G</tex> — <tex>(n+1,m)</tex>-граф, а в <tex>G_{2}</tex> — <tex>n</tex> вершин, Stein Cто для <tex>G</tex> и <tex>G_{2}</tex> теорема верна:<br/><tex>{P(G,x)=x^{n+1}-a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}-a_{3}x^{n-2}+\ldots}</tex> ,<br/><tex>{P(G_{2},x)=x^{n}-b_{1}x^{n-1}+b_{2}x^{n-2}+\ldots}</tex> ,<br/>где <tex>a_{1}</tex>, <tex>a_{2}</tex> … <tex>a_{n+1}</tex>, <tex>b_{1}</tex>, <tex>b_{2}</tex> … <tex>b_{n}</tex> — некоторые неотрицательные целые числа. Из этих равенств получаем:<br/><tex>P(G_{1},x)=x^{n+1}- Introduction to Algorithms(a_{1}+1)x^{n}+(a_{2}+b_{1})x^{n-1}+\ldots</tex>.Видно, что в этом полученном полиноме коэффициенты составляют знакопеременную последовательность.}} {{Теорема|about=4|statement=Второй коэффициент хроматического многочлена равен по модулю количеству ребер графа.|proof=Из доказательства '''Теоремы (3)''' видно, что при увеличении количества ребер графа на <tex>1</tex>, второй коэффициент также увеличивается на <tex>1</tex>. Так как для пустого графа второй коэффициент равен <tex>0</tex>, то утверждение верно для любого графа.}} == Источники информации ==* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. - СПб.: Издательство "Лань", 2010. - 368 с.: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-1068-2* Харари Ф. — Теория графов: Изд. 4-е. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", Third Edition2009. - 296 с. ISBN 978-5-397-00622-4* [[wikipedia:en:Chromatic_polynomial| Wikipedia {{---}} Chromatic_polynomial]]* [[wikipedia:ru:Хроматическое_число#.D0.A5.D1.80.D0.BE.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B9_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D1.87.D0.BB.D0.B5.D0.BD| Wikipedia {{---}} Хроматический многочлен]] [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Раскраски графов]]