Изменения

Пусть не так. Тогда <tex>\forall x \in B \setminus A</tex> такой, что множество векторов <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}</tex> — линейно зависимо. Значит, оно образует базис в пространстве векторов <tex>U</tex> "натянутом" на множество векторов <tex>A \cup B</tex>. Но тогда <tex>| A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} | > | B | </tex>, так как мощность базиса больше мощности любого линейно-независимого множества, а <tex>B</tex> - — линейно-независимо, а по условию <tex>| A | + 1 \leqslant | B | </tex>. Противоречие, значит предположение не верно и 3-е свойство тоже выполнено.

Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное кол-во количество рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> (кол-во количество рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>| A | \geqslant | B |</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.

Пусть <tex>G = \langle X, Y, E \rangle</tex> - — двудольный граф. Тогда <tex>M = \langle X, I = \mathcal{f} A \subset X \mid \exists </tex> паросочетание <tex> M: X \cap ends(M) = A \mathcal {g} \rangle </tex> называют '''трансверсальным матроидом (transversal matroid).'''