308
правок
Изменения
Нет описания правки
|about=1
|definition=
'''Двойственный матроид''' (англ. '''dual matroid''') к <tex> M = \; \langle X, \mathcal{B } \rangle</tex> {{---}} это [[Определение_матроида | матроид]] <tex>M^* _1 = \; \langle X, \mathcal B^* _1 \rangle</tex>, где <tex> \mathcal B^* _1 = \; \{ \overline B |\; B \in \mathcal B \} </tex> {{---}} множество всех кобаз матроида <tex>M.</tex>
}}
{{Определение
|about=2
|definition=
'''Двойственный матроид''' к <tex> M = \; \langle X, I \rangle</tex> {{---}} это матроид <tex>M^*_2 = \langle X, I^*_2 \rangle</tex>, где <tex>I^*_2 = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing\}</tex>
}}
{{Теорема
|statement= Множество <tex>\mathcal B^*_1</tex> удовлетворяет [[Теорема_о_базах#base_theorem | аксиомам баз]].
|proof=
# Следует из <tex> | \mathcal B | = | \mathcal B^* _1 | </tex>. # Предположим <tex>\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*_1, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} </tex>. Тогда по второй аксиоме баз для <tex> B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B):\ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 </tex>, а [[Теорема_о_базах#definition | определение базы]] гласит, что в таком случае <tex> B_1 = B_2, </tex> пришли к противоречию.# Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*_1</tex> и <tex> p\in \overline{B_1}.</tex>.
#: Покажем, что в <tex> B_1 \cup p </tex> содержится ровно один цикл.
#:: Так как <tex> p\notin {B_1}, </tex> то по определению базы <tex> B_1 \cup p \notin I </tex>, а значит существует цикл <tex>C \subseteq B_1 \cup p </tex>.
#: Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, так как разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{---}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.
}}
{{Теорема
|statement=Матроиды <tex> M^* _1 </tex> и <tex> M^{\circ} *_2 </tex> совпадают.
|proof=
Требуется доказать: <tex> I^* _1 = I^{\circ}*_2. </tex>* <tex> A \in I^* _1 \Rightarrow A \in I^{\circ} *_2 </tex>
*: Для начала покажем от противного, что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \subseteq B </tex>.
*:: Предположим <tex> S \in I </tex> {{---}} множество максимального размера среди таких, что <tex> A \subseteq S </tex>, причём <tex> S </tex> {{---}} не база. Возмём также какое-нибудь <tex> B \in \mathcal B</tex>.
*:: Раз <tex> S </tex> не база, то <tex> |S| < |B| </tex>. В таком случае по [[Определение_матроида | 3-ей аксиоме матроидов]] <tex> \exists b \in B: \ S \cup b \in I </tex>. Получили противоречие, поскольку <tex> S \cup b </tex> имеет большую мощность чем <tex> S </tex>.
*: Итак, возьмём <tex> B </tex> {{---}} базу <tex> M^* _1 </tex>, включающую в себя <tex> A </tex>. По '''Согласно определению 1''' <tex> M^*_1 </tex> выполнено <tex>B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B </tex>. Поскольку <tex> B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B </tex>, то <tex> A \cap \overline B = \varnothing </tex>. В таком случае по '''определению 2''' <tex> M^*_2 </tex> выполняется <tex> A \in I^{\circ} *_2 </tex>.
* <tex> A \in I^{\circ} *_2 \Rightarrow A \in I^* _1 </tex>*: <tex> A \in I^{\circ} *_2 </tex> означает что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing </tex>. Последнее можно записать иначе: <tex> A \subseteq \overline B </tex>. *: Кроме того <tex> B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 </tex> по определению <tex> M^* _1 </tex>. Получили <tex> A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 </tex>, откуда следует <tex> A \in I^* _1 </tex>.
}}
