Изменения

==Эйлеров путьОсновные определения==

[[Основные определения теории графов|Путь]] <tex>p</tex> <tex>u_0 -> u_0u_1 -> u_1 -> u_1u_2 -> '''Эйлеровым путем''' (англ...-> u</tex>_{<tex>k-1</tex>} <tex>u_k -> u_k</tex> в [[Основные определения теории графов|графе]] <tex>G = (V, E)</tex>называется ''ЭйлеровымEulerian path'', если содержит все ) в графе называется [[Основные определения теории графов|ребрапуть]] <tex>G</tex>, который проходит по каждому ребру, причем каждое - только ровно один раз. <br/>

[[Основные определения теории графов|Цикл]] <tex>p</tex> <tex>u_0 -> u_0u_1 -> u_1 -> u_1u_2 -> ..'''Эйлеров обход''' (англ.-> u_ku_0-> u_0</tex> в графе <tex>G = (V, E)</tex>называется ''ЭйлеровымEulerian circuit'') {{---}} обход графа, если содержит все ребра <tex>G</tex>, причем каждое - только один разпосещающий эйлеров путь. <br/>

Эйлеровым циклом является '''Эйлеров цикл''' (англ. ''Eulerian cycle'') {{---}} замкнутый эйлеров путь.}} {{Определение|id = euler_graph|definition=Граф называется '''эйлеровым''' (англ. ''Eulerian graph''), являющийся цикломесли он содержит эйлеров цикл. Граф называется '''полуэйлеровым''', если он содержит эйлеров путь, но не содержит эйлеров цикл.

==Эйлеров графКритерий эйлеровости=={{ОпределениеТеорема|id = eulerTheorem|definitionstatement=Граф Для того, чтобы граф <tex>G = (V, E)</tex> называется Эйлеровымбыл эйлеровым необходимо чтобы:1. Все вершины имели четную степень. 2. Все компоненты связности, кроме, может быть, одной, не содержали ребер.|proof=1. Допустим в графе существует вершина с нечетной степенью. Рассмотрим эйлеров обход графа. Заметим, что при попадании в вершину и при выходе из нее мы уменьшаем ее степень на два (помечаем уже пройденые ребра), если содержит Эйлеров циклэта вершина не является стартовой(она же конечная для цикла). ГрафДля стартовой(конечной) вершины мы уменьшаем ее степень на один в начале обхода эйлерова цикла, содержащий Эйлеров путьи на один при завершении. Следовательно вершин с нечетной степенью быть не может. Наше предположение неверно. 2. Если в графе существует более одной компоненты связности с ребрами, не являющийся цикломто очевидно, называют полуэйлеровымчто нельзя пройти по их ребрам одним путем. <br/>

===Критерий Эйлеровости===[[Файл:Euler_path_1.png|160px|thumb|left|Эйлерова пути нет.<br>Количество вершин нечетной степени больше двух.]]====[[Основные определения теории графовФайл:Euler_path_2.png|230px|thumb|none|Неориентированный графДве компоненты связности, одна имеет ребра.]]====

Неориентированный почти связный <ref name = "almost">Неориентированный граф назовем почти связным, если все его [[Отношение_связности,_компоненты_связности|компоненты связности]], кроме, быть может, одной, имеют размер 1.<br/>Ориентированный граф назовем почти связным, если все его [[Отношение_связности,_компоненты_связности|компоненты слабой связности]], кроме, быть может, одной, имеют размер 1.</ref> граф В графе <tex>G = (V, E)</tex> является Эйлеровым существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда не содержит вершин нечетной [[Основные определения теории графов|степени]].<br/>|proof='''Достаточность:'''<br/>Рассмотрим Эйлеров цикл <tex>p</tex> в <tex>G</tex>1.Каждое вхождение Все вершины в цикл(кроме первого и последнего вхождения начальной вершины) добавляет 2 к ее степени.<br/>Для начальной вершины ее первое и последнее вхождение также суммарно добавляют 2 к ее степени. В итоге, каждая вершина имеет имеют четную степень.<br/>'''Необходимость:'''<br/>Докажем утверждение по индукции2.<br><br/>''База:''<br/> Лес из <tex>N</tex> деревьевВсе компоненты связности, кроме, может быть, одной, каждое из 1 вершиныне содержат ребер.<br/><br/>''Переход:''<br/>Рассмотри граф, в котором степени всех вершин четные.<br/>В нем найдется простой цикл, т.к. иначе граф является [[Дерево, эквивалентные определения|лесом]], и тогда в нем есть хотя бы два листа, что противоречит четности степеней всех вершин.proof=Рассмотрим цикл <tex>c</tex> такой, что при удалении его ребер не образуется двух компонент связности размера больше 1.Такой всегда существует, тНеобходимость мы доказали ранее.к. [[Граф_блоков-точек_сочленения|граф блоков и точек сочленения]] произвольного почти связного графа является [[ДеревоДокажем достаточность, эквивалентные определения|деревом]], а т.к. все вершины используя индукцию по числу вершин <tex>Gn</tex> имеют четные степени, то не могут являться в нем листами. Значит, листами в дереве блоков и точек сочленения такого графа будут циклы, а в любом цикле есть подмножество, являющееся простым циклом.

База индукции: <tex>n = 0</tex> цикл существует. Предположим что граф имеющий менее <tex>n</tex> вершин содержит эйлеров цикл. Рассмотрим вершину связный граф <tex>G = (V, E)</tex> с <tex>n > 0</tex> вершинами, степени которых четны. Пусть <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex> {{---}} вершины графа. Поскольку граф связный, то существует путь из <tex>v_1</tex> в <tex>v_2</tex>. Степень <tex>uv_2</tex> {{---}} чётная, значит существует неиспользованное ребро, по которому можно продолжить путь из <tex>v_2</tex>. Так как граф конечный, то путь, в конце концов, должен вернуться в <tex>v_1</tex>, следовательно мы получим замкнутый путь (цикл). Назовем этот цикл <tex>C_1</tex> со степенью больше 2. После удаления цикла Будем продолжать строить <tex>C_1</tex> через <tex>cv_1</tex> таким же образом, до тех пор, пока мы в очередной раз не сможем выйти из вершины <tex>v_1</tex>, то есть <tex>C_1</tex> будет покрывать все ребра, инцидентные <tex>v_1</tex>. Если <tex>C_1</tex> является эйлеровым циклом для <tex>G</tex>, тогда доказательство закончено. Если нет, то пусть <tex>G'</tex> {{---}} подграф графа степени <tex>G</tex>, полученный удалением всех вершин останутся четнымирёбер, принадлежащих <tex>C_1</tex>. Поскольку <tex>C_1</tex> содержит чётное число рёбер, инцидентных каждой вершине, то каждая вершина подграфа <tex>G'</tex> имеет чётную степень. А так как <tex>C_1</tex> покрывает все ребра, инцидентные <tex>v_1</tex>,то граф <tex>G'</tex> будет состоять из нескольких компонент связности.при этом количество ребер в графе уменьшитсяРассмотрим какую-либо компоненту связности <tex>G'</tex>. Для Поскольку рассматриваемая компонента связности <tex>G - c'</tex> имеет менее, чем <tex>n</tex>вершин, по предположению индукцииа у каждой вершины графа <tex>G'</tex> чётная степень, то у каждой компоненты связности <tex>G'</tex> существует эйлеров цикл. Пусть для рассматриваемой компоненты связноти это цикл <tex>eC_2</tex>.Тогда в У <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> имеется общая вершина <tex>a</tex>, так как <tex>G</tex> тоже существует Эйлеров обход - сначала cвязен. Теперь можно обойти эйлеров цикл с, начиная с вершины его в вершине <tex>a</tex>, обойти <tex>C_1</tex> , вернуться в <tex>ua</tex>, затем обойти пройти <tex>C_2</tex> и вернуться в <tex>a</tex>. Если новый эйлеров цикл не является эйлеровым циклом для <tex>G</tex>, продолжаем использовать этот процесс, расширяя наш эйлеров цикл, пока, в конце концов, не получим эйлеров цикл для <tex>eG</tex>. }}{{Теорема|about=следствие|statement=В графе <tex>G = (V, E) <br/tex>существует эйлеров путь тогда и только тогда, когда:1. Количество вершин с нечетной степенью меньше или равно двум.2. Все компоненты связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.|proof=Переход доказанДобавим ребро, соединяющее вершины с нечетной степенью. Теперь можно найти эйлеров цикл, после чего удалить добавленное ребро. Очевидно найденный цикл станет путем.

Ориентированный почти связный<ref name = "almost"/> граф В ориентированном графе <tex>G = (V, E) </tex> является Эйлеровым существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда входная : 1. Входная степень любой вершины равна ее выходной степени.<br/> 2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.

Аналогично неориентированному графуДоказательство аналогично случаю неориентированного графа.

{{Теорема|about=cледствие|statement=В ориентированном графе <br/tex>'''Следствие'''G = (V, E)<br/tex>существует эйлеров путь если:Ориентированный почти связный1. Входная степень любой вершины равна ее выходной степени, кроме двух вершин графа, для одной из которых <ref name tex>\operatorname{deg}^+ - \operatorname{deg}^- = "almost"1</tex> граф , а для другой <tex>G \operatorname{deg}^+ - \operatorname{deg}^- = (V, E)-1</tex> является полуэйлеровым тогда и только тогда.2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, когда содержит ровно одну не содержат ребер.|proof=Соединим ориентированным ребром вершинус большей входящей степенью с вершиной с большей исходящей степенью. Теперь можно найти эйлеров цикл, после чего удалить добавленное ребро. Очевидно найденный цикл станет путем.}} ==См. также== * [[Основные_определения_теории_графов|входная степеньАлгоритм построения Эйлерова цикла]] которой на единицу больше [[Основные_определения_теории_графов|выходной]], и ровно одну вершину, выходная степень которой на единицу больше входной.<br/> == Источники информации==

== Примечания ==* Ф.Харари Теория графов. Глава 7. Обходы графов. Эйлеровы графы.<references* Уилсон Р. Введение в теорию графов. {{---}} М.: Мир, 1977* [http://e-maxx.ru/algo/>euler_path Нахождение эйлерова пути]

==Источники==[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]1. Ф.Харари. Теория [[Категория: Обходы графов. Москва, издательство "Едиториал УРСС". 2003 г.]][[Категория: Эйлеровы графы]]