Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition =
'''Граничный оператор <mathtex>\delta</mathtex>''' — линейный оператор,сопоставляющий 1-цепи 0-цепь таким образом, что если e = (u, v) то <tex>\delta e = u + v</tex>. Сложение производится по модулю два. Результат действия граничного оператора на 1-цепь называется границей 1-цепи.
}}
{{Определение
|proof =
* <tex>1 \rightarrow 2</tex>
Рассмотрим множество <mathtex> \Zeta Z </mathtex> реберно непересекающихся циклов. 1-цепь <tex>\sigma</tex> состоящая из всех ребер из <mathtex>\ZetaZ</mathtex> .имеет границу 0, так как для любого ребра <mathtex>e_{i} = (u_{i}, v_{i})\in \Zeta Z \ u_{i}, v_{i}</mathtex> встречаются в <tex>\delta\sigma </tex> четное число раз.
* <tex>2 \rightarrow 1</tex>
Рассмотрим 1-цепь <tex>\sigma</tex>. Из того, что граница <tex>\sigma</tex> равна 0 следует, что для любого <tex>e = (u, v) \in \sigma </tex> u и v встречаются в <tex>\delta \sigma </tex> четное число раз. Значит <math>\sigma</math> можно разбить на дизъюнктные подмножества <tex>E_1,..., E_{i},</tex> такие, что путь состоящий из <tex>u_1, e_1, v_1,...,u_{k}, e_{k}, v_{k}</tex>, где <tex>e_{k} =(u_{k}, v_{k}) \in E_{i}</tex> является циклом. Так как каждое ребро графа встречается не более одного раза, значит эти циклы будут реберно непересекающимися.
