322
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
(2) Точка сочленения графа <tex>G</tex> - вершина, при удалении которой в <tex>G</tex> увеличивается число компонент связности.}}
{{Лемма
(2 ⇒ 1) Пусть <tex>v</tex> принадлежала только одному блоку <tex>C</tex>. Все вершины <tex>u_1...u_n</tex>, смежные с <tex>v</tex>, также лежат в <tex>C</tex> (в силу рефлексивности отношения вершинной двусвязности). Теперь удалим <tex>v</tex>. Но <tex>u_1...u_n</tex> были концами ребер, удаленных из <tex>C</tex> вместе с <tex>v</tex>, поэтому между каждой парой из них остался путь.
Рассмотрим <tex>D</tex> - компоненту связности, в которой лежала <tex>v</tex>. Пусть между вершинами <tex>u, w \in D</tex> существовал путь, проходящий через <tex>v</tex>. Но он проходил также через некоторые вершины из <tex>u_1...u_n</tex>, связность которых не нарушилась, поэтому есть как минимум еще один путь, отличный от удаленного. Противоречие: число компонент связности не увеличилось.
}}
{{Теорема
|statement=
Следующие утверждения эквивалентны:
(1) <tex>v</tex> - точка сочленения графа <tex>G</tex>;
(2) существуют такие вершины <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, отличные от <tex>v</tex>, что <tex>v</tex> принадлежит любому простому пути из <tex>u</tex> в <tex>w</tex>;
(3) существует разбиение множества вершин <tex>V \setminus \{v\}</tex> на такие два подмножества <tex>U</tex> и <tex>W</tex>, что для любых вершин <tex>u \in U</tex> и <tex>w \in W</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит любому простому пути из <tex>u</tex> в <tex>w</tex>.
|proof=
(1 ⇒ 3) Так как <tex>v</tex> - точка сочленения графа <tex>G</tex>, то граф <tex>G \setminus v</tex> не связен и имеет по крайней мере две компоненты. Образуем разбиение <tex>V \setminus \{v\}</tex>, отнеся к <tex>U</tex> вершины одной из этих компонент, а к <tex>W</tex> - вершины всех остальных компонент. Тогда любые две вершины <tex>u \in U</tex> и <tex>w \in W</tex> лежат в разных компонентах графа <tex>G \setminus v</tex>. Следовательно, любой простой путь из <tex>u</tex> в <tex>w</tex> графа <tex>G</tex> содержит <tex>v</tex>.
(3 ⇒ 2) Следует из того, что (2) - частный случай (3).
(2 ⇒ 1) Если <tex>v</tex> принадлежит любому простому пути в <tex>G</tex>, соединяющему <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, то в <tex>G</tex> нет простого пути, соединяющего эти вершины в <tex>G \setminus v</tex>. Поскольку <tex>G \setminus v</tex> не связен, то <tex>v</tex> - точка сочленения графа <tex>G</tex>.
}}
