Изменения

Рассмотрим формулу Во многих теоремах присутствуют утверждения с кванторами "для всех" и "существует". От того, в каком порядке кванторы входят в утверждение, зависит его смысл. Часто оказывается полезным представлять утверждения с кванторами как "игру", в которой участвуют два игрока - "для всех" и "существует". Есть выражение <tex>\exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 \dots Q x_n = \Psi(x_1,\dots ,x_n)</tex>. Игроки поочередно выбирают значения параметров. Каждый игрок выбирает значение в зависимости от предыдущих ходов. В зависимости от значения выражения после всех ходов. Цель игрока "существует" делать такие ходы, чтобы в конце получилась истина. А цель игрока "для всех" делать такие ходы, где чтобы в конце получилась ложь.  Итак, есть выражение <tex>\exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 \dots Qx_n = \Psi(x_1,\dots ,x_n)</tex> - квантор зависящий от чётности . Если выражение <tex>n\Psi</tex>истинно, то у игрока "существует" есть такие ходы, чтобы прийти к победе. Теперь возьмём двух игроков и первый будет ставить Если же выражение <tex>x\Psi</tex> с нечётными номерамиложно, то у игрока "для всех" есть такие ходы, а второй с чётнымичтобы прийти к победе. Если Докажем в итоге получается истина, то побеждает первый игрок, если получается ложьслучае, то выигрывает второй. Если когда выражение <tex>\Psi</tex> истиннапринимает истинное значение.  Докажем по индукции.  Для одного квантора. Если этот квантор "любой", то какой бы параметр не поставил игрок "для всех" выражение будет истинно по предположению. Если единственный квантор "существует", то побеждает первый по предположению есть такой параметр, что выражение будет истинно. Его и подставит игрок"существует", в противном случае побеждает второй (при правильных ходах)после чего сразу победит. Пусть теперь верно для любого количества кванторов не превосходящих <tex>n-1</tex>. Докажем для <tex>n</tex> кванторов. Пусть первый квантор "существует", тогда <tex>\Psi= \exists x_1 \Fi</tex>. По предположению найдётся такой параметр <tex>x_1</tex>, что <tex>\Fi</tex> истинно. Но в выражении <tex>\Fi \: n-1</tex> квантор, тогда отделим значит для <tex>\Fi</tex> есть набор ходов. С выбранным <tex>x_1</tex> и полученным набором ходов мы получим победную стратегию. Пусть теперь первый квантор. "для всех", тогда <tex>\Psi = \forall x_1 \exists x_1x_2 \Phi(x1)Fi</tex>, тогда по . По предположению есть найдётся такой параметр <tex>x_2</tex> для любого параметра <tex>x_1</tex>, что <tex>\Phi(x_1)Fi</tex> будет истинно. Верно и Но в выражении <tex>\Fi \: n-2</tex> квантора, значит для любого с предположением для лжи<tex>\Fi</tex> есть набор ходов. В итоге получаем, верное утверждениеС выбранным <tex>x_2</tex> и полученным набором ходов мы получим победную стратегию.