Изменения
Нет описания правки
[[Файл:Vamos_matroid_N.png|thumb|300px|right]]
'''Матроид Вамоса''' или '''куб Вамоса''' {{---}} это матроид над восьми элементным восьмиэлементным множеством, который не изоморфен матричному ни над каким полем. Он назван в честь английского математика '''Питера Вамоса''' ('''Peter Vámos'''), который первым описал его в неопубликованной рукописи в 1968.
== Задание матроида ==
== Доказательство матроидной природы ==
Сначала убедимся в том, что перед нами действительно матроид. Фактически Реально нуждается в проверке лишь тот факт, что если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> независимые множества и <tex>|B| = 3</tex>, <tex>|A| = 4</tex>, то в <tex>A</tex> найдется такой элемент <tex>e</tex>, что <tex>B \cup \{e\}</tex> {{---}} независимое множество. Когда <tex>B \subset A</tex>, это очевидно. В противном же случае множество <tex> A \setminus B</tex> содержит по меньшей мере два различных элемента. Обозначим их через <tex>e1e_1</tex> и <tex>e2e_2</tex>. Теперь осталось заметить, что из множеств <tex>B \cup \{e1e_1\}</tex> и <tex>B \cup \{e2e_2\}</tex> хотя бы одно независимое, так как по условию нет двух зависимых множеств изчетырtх четырех элементов, отличающихся одним элементом.
== Свойства ==
* Все циклы матроида Вамоса имеют размер по меньшей мере равный его [[Определение_матроида| рангу]](максимальный размер независимого множества).
* Матроид Вамоса изоморфен своему [[Двойственный_матроид | двойственному матроиду]]. Однако он не самодвойственен, так как это требует нетривиальную перестановку элементов.
* [[Многочлен_Татта | Многочлен Татта]] матроида Вамоса равен <math>x^4+4x^3+10x^2+15x+5xy+15y+10y^2+4y^3+y^4.</math>
|proof=
Предположим, что существует изоморфный <tex>V </tex> векторный матроид <tex>M = \langle E, J \rangle</tex>, где <tex>E = \{x1, x2, {{...}} , x8 \}</tex>, и для каждого <tex>i</tex> вектор <tex>x_i</tex> соответствует элементу <tex>i</tex> матроида Вамоса.
Множество <tex>\{x1, x2, x3, x4\}</tex> является базисом <tex>M</tex>. Запишем координаты каждого вектора в этом базисе: <tex>x_i = (a_{i1}, a_{i2}, a_{i3}, a_{i4})</tex>. Для дальнейшего нам понадобятся также векторы <tex>y_i = (a_{i1}, a_{i2}, 0, 0)</tex> и <tex>z_i = (0, 0, a_{i3}, a_{i4})</tex>, где <tex>i = 1, 2, {{...}} , 8</tex>.
Ввиду линейной зависимости векторов <tex>x1, x2, x5, x6</tex> получаем равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
