Изменения
→26 Ряды Фурье в L_2 : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя
= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_nS_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.
Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_nS_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>.(Какой-то бред. Должно быть: <tex>E_n(x)=\inf\limits_{t_n \in H_n} \|x-t_n\|</tex> и <tex>E_n(x)=\|x-S_n(x)\|</tex>, где <tex>H_n</tex> - пространство тригонометрических полиномов степени не выше <tex>n</tex>, т.е. <tex>H_n \subset \mathcal{H}</tex>)
Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>
