Изменения

<br />Если Заметим, что <tex> \{ z \mid \langle \varepsilon, z \rangle \in C_L(y) \} = C_L^R(y) </tex>. Тогда если множество двухсторонних контекстов языка конечно, то конечно и множество его правых контекстов, а это значит, что язык регулярный.

Пусть <tex>L</tex> {{---}} регулярный. Тогда существует полный автомат <tex>A</tex>, распознающий его. Рассмотрим произвольное слово Каждой паре состояний <tex> (u, v) </tex> соответствует какой-то двухсторонний контекст <tex>C_L(y) </tex>. Пусть такой, что <tex>\forall \langle ix ,y \ z \rangle \vdash^* \langle u_iin C_L(y):\ s * x = u , \varepsilon u * y = v ,\rangle, i v * z = 1,2,t \ldots,nin T </tex> (<tex>n</tex> — число состояний <tex>A</tex>недостижимые состояния мы не рассматриваем). Если , и для какого-то слова него будет верно <tex>z</tex> выполняется <tex>u_i\forall \omega \in \Sigma^* :\ C_L(y) = u_iC_L(z\omega), i \Rightarrow u * \omega = 1,2,\ldots,nv </tex>, то . Поскольку для всех слов <tex>C_L(y) = C_L(z)\omega </tex>. Наоборот, если существует такая пара <tex>C_L(y) u, v = C_L(zu * \omega)</tex>, то <tex>u_iC_L(y) = \sim u_ibigcup\limits_{(zu, v):\ u \cdot y = v} \{ \langle x, i z \rangle \mid s * x = 1u ,2\ u * y = v ,\ldots,n</tex>. Таким образом, можно установить взаимное соответствие между двухсторонними контекстами и классами эквивалентности наборов <tex>u_iv * z \in T \} </tex>, которых конечное число, поскольку каждое число <tex>u_i</tex> принимает значения от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>.