Изменения

Итак, нас интересует <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right)</tex>. В лемме Гаусса для числа 2, без учета требования того, что члены ряда - — абсолютно-наименьшие, получим ряд <tex>2,4,\dots,p-1</tex>. Применяя опущенное требование получим, что все члены ряда, меньшие <tex>\frac{p}{2}</tex> останутся положительными, а остальные - — станут отрицательными. Рассмотрим 4 случая:

* Перый случай: <tex>p=1(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=0 (mod~4)</tex>. Получается в лемме Гаусса количество чисел в ряде кратно 4. Рассмотрим два центральных числа - — с номером <tex>\frac{p-1}{4}</tex>, и с номером <tex>\frac{p-1}{4}+1</tex>. Очевидно первое из них положительно, и равно <tex>\frac{p-1}{2}</tex>, а второе отрицательно, и равно <tex>\frac{p-1}{2}+2-p=\frac{p+3}{2}+p</tex>. Значит все числа делятся ровно пополам, и первые <tex>\frac{p-1}{4}</tex> из них - — положительны, а остальные - — отрицательны. Но так как <tex>\frac{p-1}{2}\vdots 4</tex>, то в каждой половине четное количество чисел, значит количество знаков "минус" в ряде четное, значит, по лемме Гаусса, <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right) =1</tex>.<br>* Второй случай: <tex>p=3(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=1 (mod~4)</tex>. Значит в лемме Гаусса количество чисел в ряде нечетно, причем если убрать одно число, то все остальные будут делиться на равные две части, количество чисел в каждой из которых - — четно. Значит требуется узнать, является ли среднее число положительным, или отрицательным. Его номер <tex>\frac{\frac{p-1}{2}-1}{2}+1</tex>, следовательно оно равно <tex>\frac{p-1}{2}-1+2=\frac{p+1}{2}>\frac{p}{2}</tex> - — значит оно отрицательно, то есть в ряде четное число положительных, и нечетное число отрицательных чисел, значит <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right)=-1</tex>.<br>* Третий случай: <tex>p=5(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=2 (mod~4)</tex>. Получаем ситуацию как в первом случае, с тем отличием, что в каждой половине ряда нечетное количество чисел - — значит отрицательных чисел нечетное количество, и значит <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right)=-1</tex>.<br>* Четвертый случай: <tex>p=7(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=3 (mod~4)</tex>. Аналогично второму случаю, но при разбиение на две половины, количество чисел в каждой из них - — нечетно. Число в середине так же получим отрицательное, значит всего отрицательных чисел четное количество, и <tex>\left(\cfrac{2}{p}\right)=1</tex>.<br>