1632
правки
Изменения
м
'''Примеры свойств''':
* Язык должен содержать слово ''hello''.
* Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
Псевдокод для <tex> A = \varnothing </tex>
p_A(p_X)
'''return L(p_X) \in A
Псевдокод для <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
p(A)
'''return''' ''true''
Пример.Пусть '''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p_Xp</tex> {{---}} разрешитель некоторого языка языку свойства <tex>A</tex> можно выразить двумя эквивалентными утверждениями: p(:<tex>p_XL(p) \in A</tex>) '''return''' :<tex>p_Xp \in L(A)</tex>Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L('hello'A)</tex>.
Не умаляя общности, можно считать, что <tex>\varnothing \notin A</tex> (в противном случае перейдём к <tex> \mathrm {RE} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как <tex> \mathrm {RE} \setminus A</tex> != <tex>\varnothing </tex> и <tex> \mathrm {RE---} \setminus A</tex> != <tex>\mathrm {RE} ) </tex>разрешимое семейство языков.
Поскольку <tex>A</tex> непусто, то найдётся перечислимый язык <tex>X \in A</tex>. Пусть <tex>p_XL_A </tex> {{---}} полуразрешитель множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex>XA </tex>.
Рассмотрим вспомогательную программу:<tex> U(i, x) </tex> {{---}} универсальная функция <tex>g_{i,x}(y):</tex> '''if''' U(i, x) == 1 //если i (где i - это программа), на входе x выдает 1 '''return''' <tex>p_X(y)</tex> '''else''' '''while''' ''true''Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать <tex> X</tex> и пустое (при построении функции <tex>L(g_{i,x}))</tex>.Нетрудно понятьТеперь допустим, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным язык <tex>i</tex> и <tex>xL_A </tex>разрешим. Значит, можно рассмотреть Тогда напишем такую программу: <tex>US(\langle i, x \rangle )</tex> '''return''' <tex>p_A ( g_{i,x} ) </tex>
Заметим <tex>propA(code){:}</tex> // программа, чторазрешающее свойство языка <tex> A </tex> <tex>Lf(g_x){i:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>,x}) = что <tex>f \beginin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {cases{---}} нетривиальное свойство X, & U<tex>g(i, x) = 1{:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, что <tex>g \notin A </tex>; \\существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство \varnothing, & U<tex>p(i, x) \neq 1; \\{:}</tex> '''if''' <tex>propA(\endmathrm{casesgetSrc()})</tex> '''return''' <tex>g(x)</tex> '''else''' '''return''' <tex>f(x)</tex>
Следовательно, Если <tex> p <br/tex> не удовлетворяет свойству <tex> US(\langle i, x \rangle ) = p_A(g_{iA </tex>,x}) = \begin{cases} p_A(p_X)тогда будет выполняться всегда вторая ветка, & Uи <tex> L(i, xp) = 1; \\ p_AL(p_\varnothing f), & U(i, x) \neq 1; \\</tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие.\end{cases} = \begin{cases} 1Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, & Uто <tex> L(i, xp) = 1; \\ 0, & UL(ig) </tex>, x) \neq 1; \\а <tex> g \end{cases}notin A </tex> {{---}} программа, разрешающая [[Множества | универсальное множество]]. Получили Опять получили противоречие.}}
rollbackEdits.php mass rollback
|definition='''Свойством языков''' (англ. ''property of languages'') называется множество <tex> A \subset \mathrm {RE} </tex>.
}}
{{Определение
|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
}}
{{Определение
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
=== Примеры ===
'''Примеры свойств''':
# Язык должен содержать слово ''hello''.
# Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель некоторого языка</font>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>p_X \in L(A)</tex>
Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} перечислимый язык в общем случае, поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font>
'''return''' <tex>p_X</tex>('hello')
== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства <tex>A</tex> не является разрешимым.|proof}}===Доказательство===Пусть <tex>p_\infty</tex> {{---}} всегда зацикливающийся алгоритм. '''Рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(A)</tex>.''' Приведём доказательство от противного.Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо. Рассмотрим язык <tex>S</tex>, такой что <tex> S \in \overline{A}</tex> (такой язык существует, так как <tex>A</tex> {{---}} нетривиально). Тогда <tex>p_S \in L(\overline{A})</tex>. Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>. ПредположимЗафиксируем произвольное <tex>n \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию <tex>V_n(x) = \begin{cases} p_S(x), n \in X \\ p_\infty(x), n \notin X \\\end{cases} </tex> '''function''' <tex>V_n</tex>(x): '''if''' <tex>p_X</tex>(n) == 1 '''return''' <tex>p_S</tex>(x) '''while''' ''true'' Получили, что если <tex>n \in X</tex>, то <tex>V_n \in L(\overline A)</tex>, а если <tex>n \notin X</tex>, то <tex>V_n \in L(A)</tex>. Таким образом, <tex>n \in X \iff V_n \in L(\overline A)</tex> . Так как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо , то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в <tex>L(\overline{A})</tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и нетривиальнопостроить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex> {{---}} неразрешимо, получили противоречие. '''Теперь рассмотрим случай, когда <tex>p_Ap_\infty \in L(\overline{A})</tex>.''' Так как <tex>\overline{A}</tex> {{---}} нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, <tex>A</tex> также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программаможет знать свой исходный код. Значит, разрешающая в неё можно написать функцию <tex>A\mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.
== См. также ==
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. "{{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница {{---}} стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Теория формальных языковРазрешимые и перечислимые языки]]
