1632
правки
Изменения
м
'''Примеры свойств''':
* Язык должен содержать слово ''hello''.
* Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
Псевдокод для <tex>A = \mathrm {RE} </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству.
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>L(p_X) \in A</tex>
'''Пример'''.
Псевдокод для первого '''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p</tex> языку свойства из примера. Пусть <tex>p_XA</tex> {{---}} разрешитель некоторого языка можно выразить двумя эквивалентными утверждениями: p(:<tex>p_XL(p) \in A</tex>) '''return''' :<tex>p_Xp \in L(A)</tex>Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L('hello'A)</tex>.
Не умаляя общности'''Рассмотрим случай, можно считать, что когда <tex>p_\varnothing infty \notin A</tex> in L(в противном случае перейдём к <tex> \mathrm {RE} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как <tex> \mathrm {RE} \setminus A \neq \varnothing </tex> и <tex> \mathrm {RE} \setminus A \neq \mathrm {RE} ) </tex>. '''
Поскольку <tex>A</tex> непустоПриведём доказательство от противного. Предположим, то найдётся перечислимый язык что <tex>X \in A</tex>. Пусть <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>разрешимо.
UРассмотрим язык <tex>S</tex>, такой что <tex> S \in \overline{A}</tex> (iтакой язык существует,xтак как <tex>A</tex> {{---}} нетривиально) '''return''' i. Тогда <tex>p_S \in L(x\overline{A})</tex>.
Нетрудно понять, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным Зафиксируем произвольное <tex>in \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию <tex>V_n(x) = \begin{cases} p_S(x</tex>. Значит), можно рассмотреть такую программу: n \in X \\ <tex>US p_\infty(x), n \notin X \langle i, x \rangle )</tex> '''return''' <tex>p_A ( g_\end{i,xcases} ) </tex>
Заметим, что '''function''' <tex>V_n</tex>(x): '''if''' <tex>p_X</tex>(n) == 1L '''return''' <tex>p_S</tex>(g_{i,x}) = '''while''' ''true'' Получили, что если <tex>n \begin{cases} in X</tex>, & Uто <tex>V_n \in L(i\overline A)</tex>, x) = 1; а если <tex>n \notin X</tex>, то <tex>V_n \ \varnothing, & Uin L(iA)</tex>. Таким образом, x) <tex>n \in X \neq 1; iff V_n \in L(\overline A)</tex>. Так как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо, то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в <tex>L(\endoverline{casesA})</tex>Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать . Но это тоже самое, что и проверка <tex> n \in X</tex> и пустое.СледовательноТогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и построить разрешитель для <tex>X<br/tex> . Так как <tex> X</tex> {{---}} неразрешимо, получили противоречие.US('''Теперь рассмотрим случай, когда <tex>p_\langle i, x infty \rangle ) = p_Ain L(g_\overline{i,xA}) = </tex>.''' Так как <tex>\beginoverline{casesA} p_A</tex> {{---}} нетривиально (p_Xкак дополнение к нетривиальному множеству), & U(iто по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, x) <tex>A</tex> также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии=== 1; По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \\ p_Amathrm{getSrc(p_\varnothing )} </tex>, & U(i, x) \neq 1; \\которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. \end<tex> A </tex> {{cases---}} = \beginразрешимое семейство языков. <tex> L_A </tex> {{cases---}}множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>. Теперь допустим, что язык <tex> L_A </tex> разрешим. Тогда напишем такую программу: 1<tex>propA(code){:}</tex> // программа, & Uразрешающее свойство языка <tex> A </tex> <tex>f(i, x) = 1{:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>, что <tex>f \in A </tex>; \\существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство 0, & U<tex>g(i, x) \neq 1; \\\end{cases:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, что <tex>g \notin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} программанетривиальное свойство <tex>p(x){:}</tex> '''if''' <tex>propA(\mathrm{getSrc()})</tex> '''return''' <tex>g(x)</tex> '''else''' '''return''' <tex>f(x)</tex> Если <tex> p </tex> не удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, тогда будет выполняться всегда вторая ветка, разрешающая [[Универсальная функция | универсальное множество]]и <tex> L(p) = L(f) </tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие.}}Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex>, а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие.
rollbackEdits.php mass rollback
|definition='''Свойством языков''' (англ. ''property of languages'') называется множество <tex> A \subset \mathrm {RE} </tex>.
}}
{{Определение
|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
}}
{{Определение
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
=== Примеры ===
'''Примеры свойств''':
# Язык должен содержать слово ''hello''.
# Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель некоторого языка</font>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>p_X \in L(A)</tex>
Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} перечислимый язык в общем случае, поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font>
'''return''' <tex>p_X</tex>('hello')
== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства не является разрешимым.|proof=Приведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо и нетривиально, не является разрешимым.}}===Доказательство===Пусть <tex>p_Ap_\infty</tex> {{---}} программа, разрешающая <tex>A</tex>всегда зацикливающийся алгоритм.
Рассмотрим вспомогательную программу:<tex> U(i, x) </tex> {{---}} универсальная функция, также зафиксируем некоторую программу произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>i</tex> и слово <tex> x X</tex>. Пусть <tex>g_{i,x}p_X(yn):</tex> '''if''' {{---}} полуразрешитель <tex>U(i, x)X</tex> == 1 <font color=green> // если i, на входе x выдает 1. </font> '''return''' <tex>p_X(y)</tex> '''else''' '''while''' ''true''
== См. также ==
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. "{{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница {{---}} стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Теория формальных языковРазрешимые и перечислимые языки]]
