Изменения

Заметим, что нам не нужно считать количество слагаемых <tex>m</tex> в разбиении. Достаточно посчитать <tex>P(n, k)</tex> — количество разбиений числа <tex>n</tex> на произвольное количество слагаемых, каждое из которых не больше <tex>k</tex>. Рассмотрим множество таких разбиений. Разделим его на две не пересекающиеся непересекающиеся группы. В первую войдут те разбиения, в которых отсутствует слагаемое <tex>k</tex>. Очевидно, таких разбиений <tex>P(n, k - 1)</tex>. Во второй группе — те разбиения, в которые слагаемое <tex>k</tex> вошло. Их количество совпадает с количеством разбиений числа <tex>n - k</tex> на слагаемые, каждое из которых не превосходит <tex>k</tex>, и равно <tex>P(n - k, k)</tex>.