Изменения

Предварительно заметим, что методика отображения укладок на сфере в укладки на плоскости и наоборот устанавливается в лемме на странице [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности]]. Уложим <tex>G_2</tex> на сфере и уложим <tex>G_1</tex> на плоскости так, чтобы ребро <tex>e_1 \in G_1</tex> смежное с <tex>e</tex> в G' оказалось на границе внешней грани (по [[#l1|лемме II]] это возможно). Обозначим за <tex>u</tex> - вершину из <tex>G_2</tex> инцедентную <tex>e</tex>. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку <tex>G_1</tex> так чтобы она вмещалась в одну из граней укладки <tex>G_2</tex> смежную с <tex>u</tex>. Рассмотрим множество <tex>U</tex> вершин смежных с <tex>u_1</tex>. Отбросим ребра инцидентные <tex>u_1</tex>, ясно, что после этого мн-во множество вершин <tex>U</tex> - лежат лежит на внешней границе <tex>G_1</tex>. Соединим теперь каждую вершину из <tex>U</tex> c <tex>u_2</tex> не пересекающимися жордановыми линиями, так что бы они не задевали укладок <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>. Таким образом мы совместили вершины <tex>u_1</tex> и <tex>u_2</tex> в вершине <tex>u_2</tex>, а значит получили укладку графа <tex>G</tex> на сфере, следовательно <tex>G</tex> - планарен.

Итак пусть граф <tex>G</tex> связен. Если <tex>G = K_1</tex>, то <tex>G</tex> очевидно планерен, поэтому предположим, что <tex>|EG| \ge 1</tex> , а значит имеется по-крайней мере один блокв <tex>G</tex>. Рассмотрим связный подграф <tex>T</tex> графа блоков и точек сочленений графа <tex>G</tex> такой, все висячие вершины - блоки графа что <tex>\forall v</tex> &mdash; т.с. <tex>G</tex> имеем <tex>deg(v) \ge 2</tex>. Из [[Граф блоков-точек сочленения|леммы]] и из связности <tex>T</tex> - получаем, что <tex>T</tex> - &mdash; двудольное [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]].

Если <tex>|VT| = 1</tex>, то граф <tex>T</tex> - тривиальный. Его единственная вершина - &mdash; это блок графа <tex>G</tex>, который по утверждению теоремы - планарен.

Пусть утверждение верно для <tex>|VT| < m</tex>. Рассмотрим <tex>T</tex>, для которого <tex>|VT| = m > 1</tex>, и соответствующий <tex>T</tex> подграф <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex>. Докажем, что <tex>G'</tex> планарен.  Положим <tex>G_1</tex> &mdash; это блок графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex>, a <tex>v</tex> &mdash; т.с. в <tex>G'</tex> смежная с <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по утверждению теоремы, т.к. блоки графа <tex>G'</tex> совпадают с блоками графа <tex>G</tex>. Заметим, что <tex>deg v > 0</tex>, т.к. <tex>v</tex> - планарент.с., следовательно не висячая. Рассмотрим два случая:

Положим <tex>G_1</tex> - блок графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex>, a <tex>v</tex> - т.с. в <tex>G'</tex> смежная с <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по утверждению теоремы, т.к. блоки графа <tex>G'</tex> совпадают с блоками графа <tex>G</tex>. Заметим, что <tex>deg v > 0</tex>, т.к. <tex>v</tex> - т.с., следовательно не висячая. Рассмотрим два случая:# <tex>deg (v ) = 2</tex> в <tex>T</tex>. Обозначим за <tex>T'</tex> <tex>T\backslash {u,v}</tex>. Поскольку степень ни одной из т.с. <tex>G'</tex> принадлежащих <tex>T</tex> (кроме удаленной <tex>v</tex>) не уменьшилась, то ни одна из тех т.с. не превратиться в лист в значит <tex>T'</tex>удовлетворяет условиям на <tex>T</tex> из предположения индукции. Заметим, что <tex>VT' = VT - 2 = m - 2 < m</tex>. Заметим также, что <tex>T'</tex> - связен, т.к. <tex>{u. v} </tex> по очереди были висячими вершинами <tex>T</tex> и <tex>T\backslash {u}</tex>.# <tex>deg (v ) > 2</tex> в <tex>T</tex>. Обозначим за <tex>T'</tex> <tex>T\backslash {u}</tex>. Поскольку степень ни одной из т.с. <tex>G'</tex> принадлежащих <tex>T</tex> (кроме кроме <tex>v</tex> - , для нее степень уменьшилась ровно на <tex>1</tex>) не уменьшилась ни одна из тех т.с. не превратиться в лист , а для вершины <tex>v</tex> в <tex>T'</tex>. верно, что <tex>deg v >= 2</tex> в , то <tex>T'</tex>, а значит и <tex>v</tex> не является листом в удовлетворяет условиям на <tex>T'</tex>из предположения индукции. Заметим, что <tex>VT' = VT - 1 = m - 1 < m</tex>. Заметим также, что <tex>T'</tex> - связен, т.к. {u} была висячей вершиной в <tex>Tu</tex>. Рассмотрим подграф <tex>G_2</tex> графа <tex>G'</tex> соответствующий дереву была висячей вершиной в <tex>T'</tex>. Поскольку T' - связен, то <tex>T\backslash \{G_1\}</tex> связен, и очевидно также как и <tex>T</tex> является подграфом графа блоков и точек сочленений <tex>G</tex>. А значит <tex>G_2</tex> планарен по предположению индукции, т.к. <tex>|V(T\backslash \{u\})| = |VT| - 1 = m - 1 < m</tex>.

Из определения ребер дерева компонент реберной двусвязности получаем, что графы <tex>G_1</tex> и Рассмотрим подграф <tex>G_2</tex> соединены в графе графа <tex>G'</tex> единственным мостом соответствующий дереву <tex>e \in GT'</tex> инцидентным блоку <tex>G_1</tex> . Поскольку T' - связен, степени вершин в дереве <tex>T'</tex>соответствующих т. Поскольку с. графа <tex>T = \{G_1\}\cup e\cup \{G_2\}G'</tex>удовлетворяют предположению индукции, то и очевидно также как и <tex>G' = \{G_1\}\cup e\cup \{G_2\}T</tex>. Покажем как из укладок является подграфом графа блоков и точек сочленений <tex>G_1G</tex> и , получим, что <tex>G_2</tex> получить укладку планарен по предположению индукции, т.к. <tex>GVT'< m</tex>.

Уложим Из определения ребер дерева блоков и точек сочленений получаем, что графы <tex>G_2G_1</tex> на сфере и уложим <tex>G_1G_2</tex> на плоскости так, чтобы ребро содержат единственную общую точку - точку сочленения <tex>e_1 \in G_1v</tex> смежное с . Поскольку множество блоков <tex>eG'</tex> в G' оказалось на границе внешней грани (по [[#l1|лемме II]] это возможно). Обозначим за принадлежащих <tex>uT</tex> - вершину состоит из <tex>G_2G_1</tex> инцедентную и множества блоков <tex>eT'</tex>. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку то <tex>G' = \{G_1</tex> так чтобы она вмещалась в одну из граней укладки <tex>\}\cup \{G_2</tex> смежную с <tex>u\}</tex>. Проводя ребро <tex>eG_1, G_2, G'</tex> от вершины удовлетворяют условию [[#l1|леммы I]], поэтому получим укладку <tex>uG</tex> к инцидентоной ему вершине графа из укладок <tex>G_1, G_2</tex> мы так как это сделано в доказательстве леммы. получаем укладку графа <tex>G'</tex> на сфере, а - планарен. А значит (по [[#l1|лемме I]]) <tex>G'</tex> планарен, следовательно предположение индукции - верно.

Рассматривая в качестве <tex>T</tex> граф компонент реберной двусвязности <tex>T_G</tex> блоков и точек сочленений <tex>G</tex>. По [[Граф блоков-точек сочленения|лемме]] <tex>T_G</tex> - дерево, следовательно каждая его вершина имеет степень как минимум <tex>1</tex>. Поскольку граф <tex>G<tex> содержит хотя бы один блок. Если это единственный блок, то <tex>T_G</tex> не содержит ни одной точки сочленения. Если граф <tex>G</tex> содержит хотя бы <tex>2</tex> блока и, следовательно, хотя бы одну точку сочленения, то <tex>T_G</tex> &mdash; дерево, содержащее хотя бы одно ребро. Поскольку в графе блоков и точек сочленений точки сочленений не могут быть висячими вершинами, то каждая из т.с. графа <tex>G</tex> получаем принадлежащих <tex>T_G</tex> имеет степень как минимум <tex>2</tex>. планарен. Получаем, что <tex>T_G</tex> удовлетворяет условиям на <tex>T</tex> из предположения индукции, а значит <tex>G</tex> - планарен.