Изменения

'''HAT(Hashed Array Tree)''' {{---}} структура данныхОпределение|definition =Пусть задан граф <tex>G</tex>, объединяющая в себе некоторые возможности массивовтогда его рёберным графом <tex>L(G)</tex> называется граф, хэш-таблиц для которого верны следующие утверждения:* любая вершина графа <tex>L(G)</tex> представляет ребро графа <tex>G</tex>* две вершины графа <tex>L(G)</tex> смежны тогда и деревьев. Внешне структура похожа на хеш-таблицу с разрешением коллизий методом цепочектолько тогда, используя расширение структуры, отсюда и названиекогда их соответствующие рёбра смежны в <tex>G</tex>. В действительности HAT {{---}} это эффективный способ реализовать массивы переменной длины, так как он предлагает хорошую производительность порядка ==Свойства==[[Файл:Line_graph_example.png|400px|thumb|right|Граф G и его реберный граф L(G)]]* Рёберный граф связного графа связен.* Задача о максимальном независимом множестве для рёберного графа соответствует задаче нахождения максимального паросочетания в исходном графе. * Рёберное хроматическое число графа <tex>G</tex> равно вершинному хроматическому числу его рёберного графа <mathtex>OL(NG)</mathtex>.* Рёберный граф рёберно-транзитивного графа является вершинно-транзитивным графом.* Если граф <tex>G</tex> имеет Эйлеров цикл, чтобы добавить то есть <mathtex>NG</mathtex> элементов к пустому массивусвязен и имеет чётное число рёбер в каждой вершине, и требует всего лишь то его рёберный граф является Гамильтоновым графом.*Ребра графа <mathtex>O(\sqrt{N})G</mathtex> дополнительной памятиможно разбить на полные подграфы таким образом, чтобы ни одна из вершин не принадлежала более чем двум подграфам.

{{Теорема|id=Теорема1|statement=Описание структуры==HAT состоит из главного массива указателей Если <tex>topG</tex> и ряда листьев {{---}} это <tex>leaf</tex> (так же одномерные массивыp,q), в которых хранятся элементы.Возможное число указателей в главном массиве и возможное число элементов в каждом листе равны между собой и являются степенями двойки. HAT зполняется элементами от самого малого листа к самому большому, при этом каждый лист заполняется слева направо.===Получение элемента по номеру===Благодаря использованию степеней двойки, мы можем эффективно находить элементы в HAT, используя поразрядные операции. Пусть размер главного массива и каждого листа будет равен <tex>2^{power}</tex>. '''int''' topIndex('''int''' j) - граф с вершинами, имеющими степени <font color=greenmath>// Получить номер указателя в основном массивеd_i</fontmath> '''return''' j >> power '''int''' leafIndex('''int''' j) , то <font color=greentex>// Получить номер листа</font> '''return''' j & (L(1 << powerG) - 1) '''int''' getHat('''int''' j) <font color=green>// Вернуть элемент HAT. Нет проверки на выход за пределы массива.</fonttex> '''return''' top[topIndex(j)][leafIndex(j)]Рассмотрим как происходит вычисление адреса на примере. Пусть у нас есть HAT с размером листа равным имеет <tex>4q</tex>, тогда для нашего случая вершин и <texmath>power = 2q_L</texmath> ребер, где<texmath>(4 q_L = -q + \frac{1}{2}\sum{d_{i}^{2)}}</tex>. Получим значения функций для элемент под номером <texmath>5</tex>: *|proof=По определению реберного графа граф <tex>topIndexL(5G)</tex> : в данном случае битовый сдвиг эквивалентен опреации деления (взятию по модулю) имеет <tex>jq</tex> на вершин. Каждые <math>2^{2}d_i</math>. То есть получим ребер, инцидентных вершине <texmath>1v_i</texmath>, дают вклад <math> \begin{pmatrix} d_i \\ 2 \end{---pmatrix}} действительно элемент под номером <tex>5</texmath> находится в первом листе (нумерция листов с <tex>0</tex>).*число ребер графа <tex>leafIndexL(5G)</tex> : в данном случае битовый сдвиг эквивалентен умножению , так что<texmath>q_L = \sum{\begin{pmatrix} d_i \\ 2 \end{pmatrix}} = \frac{1</tex> на <tex>}{2^}\sum{2d_i(d_i-1)}</tex>. Тоесть после вычитания <tex>= \frac{1</tex> получим число формата <tex>011..11</tex>, в нашем случае }{2}\sum{d_i^2}---\frac{1}{2} <tex>011</tex>. *<tex>5_\sum{10d_i} = 101_2 - 101</tex> <tex>\&</tex> <tex>011 = 001</tex>, то есть индекс в листе равен <tex>frac{1}{2}\sum{d_i^2-q}</texmath> (в листах нумерация так же с <tex>0</tex>).[[Файл:fullHAT.png|200px]]}}

===Добавление элементов=Построение==*Чаще всего при добавлении элемента в одном из листьев (последнем незаполненном на данный момент) найдется свободное место, что позволит осуществить быструю вставку {{---}} <math>O(1)</math>[[Файл:line_graph_build_1. *Реже мы столкнемся со случаем, когда необходимо создать новый лист. Достаточно всего лишь добавить указатель в свободную ячейку главного массива, что также позволит произвести вставку элемента за <math>O(1)</math>.*Самый интересный случай {{---}} когда главный массив и все листья заполнены. Cначала вычислим нужный размер (массивы <tex>top</tex> и <tex>leaf</tex> увеличиваются в <tex>2</tex> раза, то есть <math>power = power \cdot 2 </math>), затем скопируем элементы в новую структуру HAT, освобождая старые листья и распределяя новые листья(размер листа изменился, а значит количество элементов в листе и количество используемых листьев так же изменится).*Такой подход к расширению помогает избежать избыточного перекопирования, используемого во многих реализациях массивов переменной длины, потому что увеличения размеров всех массивов происходит редко (как будет видно ниже). Копировать элементы мы будем только тогда, когда главный массив полон (достигли соответствующей степени двойки, то есть <tex> N = (2 \cdot 2)^k</tex>, где <tex>k</tex> {{---}} натуральное число), тогда общая сумма перекопирования будет равна <math>1+4+16+64+256+...+N</math>. Воспользуемся тождествомpng|200px]][[Файл: <math>(x^{n+1} -1)=(x-1)(1+x+x^2+x^3+line_graph_build_2... + x^k)</math>, тогда для нашего случаяpng|200px]][[Файл: <math>1 +4+4^2+4^3+line_graph_build_3...+4^k = (4^{k+1} -1)/(4-1) = (4N-1)/3</math>, или около <math>4N/3</math>. Это означает, что среднее число дополнительных операций копирования {{---}} <math>O(N)</math> для последовательного добавления N элементов, а не <math>O(N^2)</math>. Мы получили <math>4N/3</math> против <math>2N</math> в обычном динамическом массиве, то есть константа уменьшилась.png|200px]][[Файл:AlgoF2line_graph_build_4.gifpng|400px200px]]

===Расход памяти===HAT использует меньше дополнительной памяти, чем в стандартных подходах к расширению массивов, то есть полном перекопировании и перераспределении всего массива.Затраты дополнительной памяти (уже выделенной, но еще не используемой) в самом плохом случае {{---}} Граф <mathtex>(top+leaf-1) ~= 2G \sqrt{N} = O(\sqrt{N})rightarrow </math> (этот случай при пустой HAT {{---}} в <tex>topВершины </tex> один указатель на единственный пустой листL(G). Если в листе будет <tex>power/2</tex> элементов, то ожидаемая трата дополнительной памяти уменьшается до <math>(top + leaf/2) \approx 1.5\sqrt{N}</math>. Таким образом HAT использует созданные из ребер графа <tex>G \Theta(\sqrt{N})rightarrow </tex> дополнительной памяти. Это лучше [[wikipedia:ru:Динамический массив |динамического массива]], который использует Добавлены рёбра в <tex>OL(NG)\rightarrow </tex> дополнительней памяти сразу после перекопирования элементов. И лучше [[wikipedia:ru:Список (информатика) |списка]]. ==Эффективность==Благодаря тому, что копирования в HAT происходят реже, чем в других реализациях динамических массивов, и в худшем случае требуется Рёберный граф <tex>OL(\sqrt{N}G)</tex> памяти, ее можно использовать в любых программах, требующих работу с массивами переменной длинны, где использование других структур данных (например списков) не удобно. На многих алгоритмах HAT работает значительно быстрее стандартных массивов, дополнительно можно ознакомиться с результатами некоторых тестов<ref>[http://pmg.org.ru/ai/tree_hash.htm Результаты тестов]</ref>. == Примечания ==<references/>

*[[wikipedia:enru:Hashed array tree Рёберный_граф | Wikipedia {{---}} Hashed array tree Реберные графы ]]*Cline, MХарари Фрэнк '''Теория графов''': Пер.Pс англ. and G/ Предисл.AВ. Lomow, C++ FAQs, Reading, MA: Addison-Wesley, 1995П. *Cormen, TКозырева; Под ред.HГ., CП.EГаврилова. Leiserson, and RИзд.L4-е. Rivest— М. Introduction to Algorithms, Cambridge, MA: MIT PressКнижный дом "ЛИБРОКОМ", 19902009. — 296 с. — ISBN 978-5-397-00622-4.