Изменения

Применим для подстчёта коэффициентов один из широко применяемых принципов комбинаторного анализа - принцип включения-исключения.<br>Зафиксируем некоторый набор <tex>K</tex> из <tex>x</tex> красок, где <tex>x</tex> - некоторое натуральное число. Отображение <tex>\phi</tex> из <tex>VG</tex> в <tex>K</tex>, не являющееся раскраской графа <tex>G</tex>, будем называть его несобственной раскраской (для несобственной раскраски обязательно существует ребро графа, концы которого раскрашены в одинаковый цвет). Конечно, число собственных и несобственных <tex>x</tex> - раскрасок <tex>n</tex> - графа <tex>G</tex> равно <tex>x^n</tex>.<br>Возьмём некоторую собственную или несобственную раскраску графа <tex>G</tex>. Удалим из графа каждое ребро, концы которого раскрашены в разный цвет. Получим остовный подграф <tex>H</tex>, каждое ребро которого (если таковое имеется) соединяет вершины одинакового цвета. Исходную собственную или несобственную раскраску будем называть строго несобственной раскраской остовного подграфа <tex>H</tex>. Каждой компоненте связности графа <tex>H</tex> соответствует точно один цвет (это цвет её вершин), поэтому если остовный подграф <tex>H</tex> имеет <tex>i</tex> компонент связности, то имеется <tex>x^i</tex> различных строго несобственных раскрасок, отвечающих остовному подграфу <tex>H</tex>.<br>Заметим, что каждая собственная или несобственная раскраска графа <tex>G</tex> является строго несобственной раскраской его остовного подграфа. При этом собственным раскраскам графа <tex>G</tex> отвечает нулевой остовный подграф.<br>Обозначим через <tex>N(i, j)</tex> число остовных подграфов графа <tex>G</tex>, имеющих <tex>i</tex> компонент связности и <tex>j</tex> рёбер. Иными словами, это число <tex>(n, j, i)</tex> - подграфов графа <tex>G</tex>.<br>Из общего числа <tex>x^n</tex> собственных и несобственных раскрасок вычтем сначала число строго несобственных раскрасок тех остовных подграфов, у которых имеется точно одно ребро. Если мы вычтем сумму <tex>\sum_{i}N(i, 1)x^i</tex>, то мы вычтем указанное число, но вычтем ещё и некоторую избыточную величину. Действительно, пусть <tex>e_1 = u_1v_1</tex> и <tex>e_2 = u_2v_2</tex> - два различных ребра графа <tex>G</tex>. Тогда в число строго несобственных раскрасок остовного подргафа, содержащего точно одно ребро <tex>e_1</tex>, попадут и те, у которых вершины <tex>u_2</tex> и <tex>v_2</tex> имеют одинаковый цвет, а это - строго несобственные раскраски остовного подграфа, содержащего точно два ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex>. Более того, их число будет вычтено дважды - один раз для <tex>e_1</tex> и один раз для <tex>e_2</tex>. Аналогично, число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, содержащих точно 3, 4 и более рёбер, будет вычтено соответствующее число раз.<br>Чтобы восстаносить баланс, мы добавим сумму <tex>\sum_{i}N(i, 2)x^i</tex>. При этом мы компенсируем двухкратное вычитание числа строго несобственных раскрасок, отвечающих остовным подграфам с двумя рёбрами, но снова возникает необходимость компенсации излишне добавленных чисел строго несобственных раскрасок для остовных подграфов с тремя, четырьмя, и более рёбрами.<br>Следовательно, число собственных раскрасок графа <tex>G</tex> равно <tex>x^n - \sum_{i}N(i, 1)x^i + \sum_{i}N(i, 2)x^i - \sum_{i}N(i, 3)x^i + ...</tex>. Так как <tex>N(n, 0) = 1</tex>, отсюда вытекает <tex>P(G, x) = \sum_{j=0}^{m}\sum_{i=1}^{n}(-1)^jN(i, j)x^i = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{m}(-1)^jN(i, j)x^i</tex>.