17
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=
Если <tex>n \ge geqslant 3</tex> и <tex>deg\ u + deg\ v \ge geqslant n</tex> для любых двух различных несмежных вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|неориентированного графа ]] <tex>G</tex>, то <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы | гамильтонов граф]].
|proof=
Пусть <tex>u,v</tex> несмежные вершины в полученном графе <tex>G'</tex>. Если добавить ребро <tex>uv</tex>, появится гамильтонов цикл. Тогда путь <tex>(u,v)</tex> {{---}} гамильтонов.
Для вершин <tex>u,v</tex> выполнено <tex>deg\ u + deg\ v \ge geqslant n.</tex>
По принципу Дирихле всегда найдутся две смежные вершины <tex> t_1,t_2</tex> на пути <tex>(u,v)</tex>, т.е. <tex>u..t_1t_2..v</tex> , такие, что существует ребро <tex>ut_2</tex> и ребро <tex>t_1v.</tex>
Действительно, пусть <tex>S=</tex> { <tex> \{ i| \mid e_i=ut_{i+1} \in EG\}</tex> } и <tex>T = </tex> { <tex> \{ i| \mid f_i=t_iv \in EG\}</tex> }
Имеем: <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = deg\ u + deg\ v \ge geqslant n </tex>, но <tex>\left\vert S + T \right\vert < n.</tex>
Тогда <tex>\left\vert S\cap T \right\vert = \left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert - \left\vert S+T \right\vert > 0</tex> , т.е. <tex>\exists i| \mid ut_{i+1}\in EG</tex> и <tex> t_iv \in EG.</tex>Получили противоречие, т.к. <tex>u..t_1v..t_2u</tex> {{---}} гамильтонов цикл.
}}
== См. также ==* [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов]]* [[Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре]]* [[Теорема Дирака]]
== Источники ==
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
