1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
# Свести задачу RMQ к задаче LCA линейного размера (указание: использовать декартово дерево)
# Можно ли свести задачу RMQ к задаче RMQ$\pm 1$ так, чтобы размер получившегося массива был равен $n+C$, где $n$ - длина исходного массива, а $C$ - константа?
# Докажите, что число различных как строки подстрок $s$ равно $n(n + 1) / 2$ - sum(lcp[i]).
# Найти самую длинную строку $p$, такую, что она входит в строку $t$ дважды и не пересекаясь. Решение должно работать за $SA + O(n)$, где $SA$ - время построения суффиксного массива.
# Использовать суффиксный массив для нахождения такой строки $p$, что $|p| \times $(число вхождений $p$ в $t$) было максимальным за $SA + O(n)$
# Пусть в алфавите есть ровно два символа. Построить такую строку $s$, что её суффиксный массив совпадает с данным, за $O(n)$.
# Пусть $B(S)$ - множество бордеров $S$. Найти за $SA + O(n)$ сумму $\sum\limits_{i = 1}^{n} \sum\limits_{j = i}^{n} B(S[i..j])$.
# Найти строку над алфавитом $\{0, 1\}$, в которой $\Omega(n^2)$ различных как строки подстрок.
# Строка $s$ называется ветвящейся вправо в $t$, если существуют символы $c$ и $d$, такие что $c \ne d$ : $sc$ и $sd$ - подстроки $t$. Аналогично, ветвящаяся влево, если $cs$ и $ds$ - подстроки $t$. Найти самую длинную ветвящуюся влево и вправо подстроку $t$ за $SA + O(n)$.
# Найти количество ветвящихся влево и вправо строк для строки $t$. Считать только разные строки.
# Строка $s$ называется максимальным повтором в $t$, если 1) $s$ входит в $t$ не менее двух раз; 2) если $r$ входит в $t$ не менее двух раз, то $s$ - не является собственной подстрокой $r$. Доказать или опровергнуть, что все максимальные повторы равны по длине.
# Найти все максимальные повторы за $O(SA + n + ans)$.
# Петя забыл про спуск по счетчику в алгоритме Укконена. Привести пример строки, на которой полученный алгоритм будет работать дольше чем за $O(n)$.
# Привести пример, когда в алгоритме Укконена в одной итерации спуск происходит по $\Omega(n)$ реберам.
# Построить суффиксный массив по суффиксному дереву за $O(n)$.
# Построить суффиксное дерево по суффиксному массиву за $O(n)$.
# Определить число различных подстрок в строке с помощью суффиксного дерева за $ST + O(n)$. ($ST$ - время построения суффиксного дерева, суффиксный массив не использовать)
# Использовать суффиксный массив для нахождения такой строки $p$, что $|p| \times $(число вхождений $p$ в $t$) было максимальным за $ST + O(n)$
# Найти максимальную подстроку в строке, имеющую два непересекающихся вхождения за $ST + O(n)$.
# Найти строку максимальной длины, ветвящаяся влево и вправо за $ST + O(n)$.
# Найти подпалиндром максимальной длины за ST + O(n).
# Алгоритм Хьюи. Дано дерево, вершины которого раскрашенны в цвета, то есть задано отображение $col: V \to \{1..k\}$. С помощью LCA найти $dc: V \to \{1..k\}$, где $dc(u)$ - число различных цветов в поддереве с корнем в вершине $u$. Время работы - $O(DCU)$.
# Используя результат предыдущей задачи, найти наибольшую общую подстроку $k$ строк за $O(n + DSU)$.
# Найти наибольший общий подпалиндром за $ST + O(DSU)$.
# Найти наибольший максимальный повтор за $ST + O(n)$.
# Матроид с выкинутым элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Множества, не содержавшие $x$, остаются независимыми. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A | A \in I, x \not\in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setminus x$ является матроидом.
# Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются множества, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
# Прямая сумма матроидов. Пусть $M_1 = \langle X_1, I_1\rangle$ и $M_2=\langle X_2, I_2\rangle$ - матроиды с непересекающимися носителями ($X_1 \cap X_2 = \varnothing$). Обозначим как $M_1+M_2$ следующую конструкцию: $M_1 + M_2 = \langle X_1 \cup X_2, I = \{A \cup B|A \in I_1, B \in I_2\}$. Докажите, что сумма матроидов является матроидом.
# Разноцветные множества. Пусть $X$ - множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Будем называть независимыми множества, в которых все элементы разного цвета. Докажите, что эта конструкция является матроидом. Используйте определение матроида.
# Представьте конструкцию из предыдущего примера в виде прямой суммы универсальных матроидов.
# Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
# Является ли венгерский алгоритм вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
# Образуют ли паросочетания в двудольном графе семейство независимых множеств некоторого матроида?
# Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
# Аксиома баз. Докажите, что если $B_1$ и $B_2$ - базы матроида, то для любого $x \in B_1 \setminus B_2$ найдется $y \in B_2 \setminus B_1$, такой что $B_1 \setminus x \cup y$ тоже база.
# Обратная аксиома баз. Докажите, что если $B_1$ и $B_2$ - базы матроида, то для любого $y \in B_2 \setminus B_1$ найдется $x \in B_1 \setminus B_2$, такой что $B_1 \setminus x \cup y$ тоже база.
# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую констркуцию: $M^* = \langle X, \{A | \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
# Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
# Докажите теорему об аксиоматизации циклами.
# Докажите теорему о рангах.
# Докажите теорему об аксиоматизации рангами.
# Докажите теорему о замыкании.
# Докажите теорему об аксиоматизации замыканиями.
# Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксимомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
# Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
# Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
# Какие универсальные матроиды являются матричными?
# Докажите, что матроид Вамоса не является представимым ни над каким полем.
# Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
# Когда двойственный к графовому матроид является графовым?
# Докажите лемму о паросочетании в графе замен (формулировка тут: [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%B2_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD], доказательство неправильное - неверный индукционный переход)
# Рассмотрим два матроида $M_1$ и $M_2$. Как связаны максимальное независимое множество пересечения $M_1 \cap M_2$ и база $M_1 \cup M_2^*$? ($M_2^*$ - матроид, двойственный $M_2$)
# Докажите теорему Радо: пусть $M$ - матроид с ранговой функцией $r$, $X = X_1 \cup X_2 \cup ...\cup X_k$, причем все $X_i$ попарно не пересекаются. Будем называть независимой системой представителей независимое множество $A$, такое что $|A \cap X_i| \le 1$. Пусть $A_{max}$ - максимальная по мощности независимая система представителей. Тогда $|A_{max}|=\min_{Z\subset \{1,..,k\}}(r(\cup_{i\in Z} X_i)+k-|Z|)$.
# Предложите алгоритм построения максимальной независимой системы представителей.
# Докажите, что длина кратчайшего пути из $S$ в $T$ в алгоритме построения базы пересечения матроидов не убывает.
# Докажите, что число различных длин кратчайшего пути из $S$ в $T$, которые встречаются в алгоритме построения базы пересечения матроидов, есть $O(\sqrt n)$.
# Докажите, что сумма длин кратчайших пути из $S$ в $T$, которые встречаются в алгоритме построения базы пересечения матроидов, есть $O(n \log n)$.
# Игра Шеннона. Рассмотрим игру на связном графе с множеством ребер $E$. Играют два игрока, cut и link, первым ходит cut. Игроки по очереди добавляют себе ребра, не использованные на предыдущих ходах. В конце игры link выигрывает, если по его ребрам можно дойти от любой вершины до любой. Докажите, что link выигрывает при оптимальной игре, если и только если в графе существует два непересекающихся остовных дерева.
# Игра Шеннона на произвольном матроиде. Рассмотрим игру на матроиде $M$. Играют два игрока, cut и link, первым ходит cut. Игроки по очереди выбирают себе элементы носителя, не использованные на предыдущих ходах. В конце игры link выигрывает, если его множество содержит базу матроида. Докажите, что link выигрывает при оптимальной игре, если и только если в графе существует две непересекающихся базы.
# Пусть $M$ - невырожденная квадратная матрица над вещественными числами. Докажите, что для любого множества строк $R$ найдется множество столбцов той же мощности $C$, что миноры $R\times C$ и $\overline{R}\times \overline{C}$ - ненулевые (как $\overline T$ обозначено множество строк/столбцов, не входящих в $T$).
# Задан двудольный граф, каждая вершина имеет вес. Требуется выбрать паросочетание, чтобы суммарный вес покрытых вершин был максимален. Решите эту задачу, не используя сведение к обычной задаче о назначениях.
</wikitex>
