418
правок
Изменения
→Размер структуры
{{Теорема
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|thumb|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера ]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
