Изменения

Все три аксиомы выполняются на <tex>\mathcal{I}</tex>, соответственно, семейство <tex>\mathcal{I}</tex> является семейством независимых множеств некоторого матроида <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex>. Осталось проверить, что исходная функция <tex>r</tex> совпадает с ранговой функцией матроида <tex>M</tex>. Так как, по определению, ранговая функция равна мощности максимального независимого подмножества множества (мощности базы множества), для этого достаточно доказать, что для любой [[Теорема о базах|базы]] <tex>B</tex> произвольного множества <tex>A \in 2^X, B \subseteq A</tex> выполняется <tex> r(A) = |B| </tex>. Пусть <tex>B</tex> {{---}} [[Теорема о базах|база]] множества <tex>A \in 2^X</tex>. По определению <tex>r </tex> имеем <tex> r(B) = |B|</tex> и <tex>B</tex> {{---}} максимальное <tex>r</tex>-независимое подмножество из <tex>A</tex>. Если <tex>A=B</tex>, то, очевидно, <tex>r(A)=r(B).</tex> Поэтому пусть <tex>B \in subset A</tex>. Пусть <tex> A \setminus B = \{p_1, \ldots ,p_t\}</tex>. В силу максимальности <tex>B</tex> для любого <tex>i = 1, \ldots,t</tex> множество <tex>B \cup p_i</tex> не является <tex>r</tex>-независимым, т.е. <tex>r(B \cup p_i) < |B \cup p_i|</tex>. Тогда имеем: <tex> |B| = r(B) \leqslant r(B \cup p_i) < |B \cup p_i| = |B| + 1 </tex>,