146
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Идеальная хеш-функция''' {{---}} (англ. ''perfect hash function'') — [[Хеш-таблица#Хеширование|хеш-функция]], которая без [[Разрешение коллизий|коллизий]] отображает различные элементы из множества объектов на множество ключей за <tex>O(1)</tex> времени в худшем случае.
}}
== Постановка задачи =={{Задача|definition=
Иногда возникают задачи не с динамическим, а со статическим множеством ключей, т.е. после того, как все ключи сохранены в таблице, их множество никогда не изменяется. При этом мы можем дополнительно хотеть, чтобы размер таблицы зависел от количества ключей линейно. Тогда мы можем использовать идеальное хеширование для обеспечения хорошей асимптотики даже в худшем случае.
}}
== Основная идея ==
Если <tex>n</tex> ключей сохраняются в хеш-таблице размером <tex>m=n^2</tex> c использованием хеш-функции <tex>h</tex>, случайно выбранной из [[Универсальное_семейство_хеш-функций | универсального множества хеш-функций]], то вероятность возникновения коллизий не превышает <tex dpi="180">{1 \over 2}</tex>.
|proof=
Всего имеется <tex>\dbinom{n}{2}</tex> пар ключей, которые могут вызвать коллизию. Если хеш-функция выбрана случайным образом из [[Универсальное_семейство_хеш-функций | универсального семейства хеш-функций]] <tex>H</tex>, то для каждой пары вероятность возникновения коллизии равна <tex dpi="180">{1 \over m}</tex>. Пусть <tex>X</tex> {{---}} — [[Дискретная_случайная_величина |случайная величина]], которая подсчитывает количество коллизий. Если <tex>m = n^2</tex>, то [[Математическое_ожидание_случайной_величины | математическое ожидание]] числа коллизий равно
<tex>E[X] = </tex> <tex dpi="180"> \binom{n}{2} \cdot {1 \over n^2} = {n^2-n \over 2} \cdot {1 \over n^2} < {1 \over 2}</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Если мы сохраняем <tex>n</tex> ключей в хеш-таблице в хеш-таблице размеров <tex>m=n</tex> c использованием хеш-функции <tex>h</tex>, выбираемой случайным образом из универсального множества хеш-функций, то <tex>E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} n_j^2 \right] < 2n</tex>, где <tex>n_j</tex> {{---}} — количество ключей, хешированных в ячейку <tex>j</tex>.
|proof=
<tex>E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} n_j^2 \right] =</tex> <tex> E\left[ \displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} (n_j + 2 \dbinom{n_j}{2})\right] = </tex> <tex> E\left[ \displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} n_j\right] + 2E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} \dbinom{n_j}{2}\right] = </tex> <tex> E\left[n\right] + 2E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} \dbinom{n_j}{2}\right] = n + 2E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} \dbinom{n_j}{2} \right]</tex>
Если мы сохраняем <tex>n</tex> ключей в хеш-таблице размером <tex>m=n</tex> с использованием хеш-функции <tex>h</tex>, выбираемой случайным образом из [[Универсальное_семейство_хеш-функций | универсального множества хеш-функций]], и устанавливаем размер каждой вторичной хеш-таблицы равным <tex>m_j=n_j^2</tex> <tex>(j=0,1,...,m-1)</tex>, то вероятность того, что общее количество необходимой для вторичных хеш-таблиц памяти не менее <tex>4n</tex>, меньше чем <tex>1/2</tex>.
|proof=
Применим [http://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Маркова [Неравенство Маркова| неравенство Маркова]] <tex>P(X \geqslant t) \leqslant E[X]/t</tex>
Пусть <tex>X=\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} m_j</tex> и <tex>t=4n</tex>.
* [[Разрешение коллизий]]
==СсылкиИсточники информации==
* Т. Кормен. «Алгоритмы. Построение и анализ» второе издание, Глава 11.5, стр. 308
* Д.Э. Кнут. «Искусство программирования: Сортировка и поиск" Том 3, Глава 6.4, стр. 563
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_hash_function Perfect hash function {{---}} — Wikipedia]
* [http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15451-s07/www/lecture_notes/lect0215.pdf Universal and Perfect Hashing]
* [http://nord.org.ua/static/course/algo_2009/lecture8.pdf Универсальное хэширование. Идеальное хэширование]
