Изменения
→Анализ времени работы алгоритма
Пусть <tex>T(n)</tex> — время работы алгоритма для <tex>n</tex> элементов, тогда оно не больше, чем сумма:
# времени работы на сортировку групп и разбиение по рассекающему элементу, то есть <tex>Cn</tex>;
# времени работы для поиска медианы медиан, то есть <tex>T</tex><tex>\left(\dfrac{n}{5}\right)</tex>;
# времени работы для поиска <tex>k</tex>-го элемента в одной из двух частей массива, то есть <tex>T(s)</tex>, где <tex>s</tex> — количество элементов в этой части. Но <tex>s</tex> не превосходит <tex>\dfrac{7n}{10}</tex>, так как чисел, меньших рассекающего элемента, не менее <tex>\dfrac{3n}{10}</tex> — это <tex>\dfrac{n}{10}</tex> медиан, меньших медианы медиан, плюс не менее <tex>\dfrac{2n}{10}</tex> элементов, меньших этих медиан. С другой стороны, чисел, больших рассекающего элемента, так же не менее <tex>\dfrac{3n}{10}</tex>, следовательно <tex> s \leqslant </tex> <tex>\dfrac{7n}{10}</tex>, то есть в худшем случае <tex> s = </tex> <tex>\dfrac{7n}{10}</tex>.
Тогда получаем, что
<tex>T(n) \leqslant T</tex><tex>\left(\dfrac{n}{5}\right)</tex><tex> + T</tex><tex>\left(\dfrac{7n}{10}\right)</tex><tex> + Cn </tex>
Покажем, что для всех <tex> n </tex> выполняется неравенство <tex>T(n) \leqslant 10Cn </tex>.
Докажем по индукции:
# Предположим, что наше неравенство <tex>T(n) \leqslant 10Cn </tex> выполняется при малых <tex> n </tex>, для некоторой достаточно большой константы <tex> C </tex>.
# Тогда, по предположению индукции, <tex>T</tex><tex>\left(\dfrac{n}{5}\right)</tex><tex> \leqslant 10C </tex><tex>\dfrac{n}{5}</tex><tex> = 2Cn</tex> и <tex> T</tex><tex>\left(\dfrac{7n}{10}\right)</tex><tex> \leqslant 10C </tex><tex>\dfrac{7n}{10}</tex><tex> = 7Cn</tex>, тогда<tex>T(n) \leqslant T</tex><tex>\left(\dfrac{n}{5}\right)</tex><tex> + T</tex><tex>\left(\dfrac{7n}{10}\right)</tex><tex> + Cn = 2Cn + 7Cn + Cn = 10Cn \Rightarrow T(n) \leqslant 10Cn</tex>
Так как <tex>T(n) \leqslant 10Cn </tex>, то время работы алгоритма <tex>O(n)</tex>
