146
правок
Изменения
Нет описания правки
== Описание структуры ==
[[Файл:Bit.jpg|thumb|300px|По горизонтали — индексы массива <tex>T</tex> <br/> (<tex>T_i</tex> является суммой элементов массива <tex>A</tex>, индексы которых заштрихованы),<br/> по вертикали — индексы массива <tex>A</tex>]]
'''Дерево Фе́нвика''' (англ. ''Binary indexed tree'') — структура данных, требующая <tex> O(n) </tex> памяти и позволяющая эффективно (за <tex> O(\log n) </tex>) выполнять следующие операции:
* изменять значение любого элемента в массиве,
* выполнять некоторую [[Ассоциативная_операция |ассоциативную]], [[Абелева_группа |коммутативную]], [[Группа |обратимую операцию]] <tex> \circ </tex> на отрезке <tex> [i, j] </tex>.
Впервые описано Питером Фенвиком в 1994 году.
Эту функцию можно вычислять по другой формуле: <tex> F(i) = i - 2^{h(i)} + 1, </tex> где <tex> h(i) </tex> — количество подряд идущих единиц в конце бинарной записи числа <tex> i </tex>. Оба варианта равносильны, так как функция, заданная какой-либо из этих формул, заменяет все подряд идущие единицы в конце числа на нули.
==Построение дерева==
Покажем, как построить дерево Фенвика.
'''function''' init(A, T):
'''for''' i = 0 '''to''' N - 1
'''for''' j = i & (i + 1) '''to''' i
T[i] += a[j]
== Запрос изменения элемента ==
{{Лемма
|statement=
Для изменения пересчёта дерева Фенвика при изменении величины <tex>a_{k}</tex> необходимо изменить элементы дерева <tex>T_{i}</tex>, для индексов <tex>i</tex> которых верно неравенство <tex>F(i) \leqslant k \leqslant i</tex> .
|proof=
<tex> T_i =\sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k , i = 0 .. n - 1 \Rightarrow</tex> необходимо менять те <tex>T_i</tex>, для которых <tex>a_{k}</tex> попадает в <tex>T_i \Rightarrow</tex> необходимые <tex> i </tex> удовлетворяют условию <tex>F(i) \leqslant k \leqslant i</tex>.
{{Лемма
|statement= Все такие <tex> i </tex> можно найти по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>, где <tex> \mid </tex> — это операция побитового логического <tex> OR </tex>.
|proof=Из доказанной выше леммы следует, что первый элемент последовательности само <tex> k </tex>. Для него выполняется равенство, так как <tex> F(i) \leqslant i </tex>. По формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex> мы заменим первый ноль на единицу. Неравенство при этом сохранится, так как <tex>F(i)</tex> осталось прежним или уменьшилось, а <tex> i </tex> увеличилось. <tex> F(i) </tex> не может увеличится, так как функция <tex> F </tex> заменяет последние подряд идущие единицы числа <tex> i </tex> на нули, а по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex> у нового значения <tex> i </tex> увеличивается количество единиц в конце, что не может привести к увеличению <tex> F(i) </tex>. ПокажемДокажем от противного, почему не стоит что нельзя рассматривать значения <tex> i </tex>, отличные от тех, которые мы получили по формуле. Рассмотрим такое число две последовательности индексов: первая последовательность получена по формуле, вторая — любые числа не меньше <tex> j k</tex>, которое больше . Возьмём число <tex>kj </tex>из второй последовательности, которого нет в первой последовательности. Пусть <tex>F(j) \leqslant k </tex>. Уберём у <tex>j</tex> все подряд идущие единицы в конце двоичной записи, столько же цифр уберём в конце числа <tex>k</tex>. Обозначим их как <tex>j_{0}</tex> и <tex>k_{0}</tex>. Чтобы выполнялось условие <tex>F(j) \leqslant k </tex>, должно выполняться неравенство <tex>j_{0} \leqslant k_{0}</tex>. Но если <tex>j_{0} < k_{0}</tex>, то и <tex>j \leqslant k</tex>, что противоречит условию <tex>j > k</tex>. Значит, <tex>j_{0} = k_{0}</tex>. Но тогда <tex>j</tex> возможно получить по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>. Получили противоречие, следовательно, <tex>F(j) > k </tex>. Получили противоречие: <tex>j</tex> можно вычислить по формуле, а это значит, что оно содержится в первой последовательности. Таким образом, нужные элементы можно искать по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>. }}
Заметим, что <tex>F(i)</tex> возрастает немонотонно. Поэтому нельзя просто перебирать значения от <tex> k </tex>, пока не нарушается условие. Например, при пусть <tex> k = 3 </tex> . При данной стратегии на следующем шаге (<tex> i = 4 </tex>), нарушится условие и мы прекратим пересчитывать <tex> T_i </tex>. Но тогда мы упускаем остальные значения <tex>i</tex>, например <tex> 7 </tex>.
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
Несложно заметить, что данная последовательность строго возрастает и в худшем случае будет применена логарифм раз, так как добавляет каждый раз по одной единице в двоичном разложении числа <tex>i</tex>.
Напишем функцию, которая будет прибавлять к элементу <tex>a_i</tex> число <tex>d</tex>, и при этом меняет соответствующие частичные суммы. Так как наш массив содержит <tex>N</tex> элементов, то мы будем искать <tex>i_{next}</tex> до тех пор, пока оно не превышает значение <tex>N</tex>.
'''function''' modify(i, d):
'''function''' set(i, t):
d = t - a[i];
modify(i, d)
