403
правки
Изменения
→TODO: заголовок
== TODO: заголовок ==
Выведенную ранее формулу Тейлора можно трактовать следующим образом:
Ранее мы обнаружили, что это
<tex>T_NT_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac
{f^{(k)}(x_0)}
{k!}
</tex>.
Теперь другая задача: <<Дана «Дана функция и система узлов. Требуется найти полином степени не выше <tex>n</tex> такой, что
<tex>\forall x_j: j = \overline{0..n}\quad T(x_j) = f(x_j)</tex>
Положим <tex>L_n(x) = \sum\limits_{j = 0}^n \Phi_j(x_j) \cdot f(x_j)</tex>. По пункту 1 этот полином решает поставленную задачу.
Сейчас будет доказана теорема аналогичная теореме об интерполяционном полиноме Лагранжа, после чего станет ясно, что это задачи одного класса.
Во втором случае это изложено на языке производных, а в первом~--- — через значения функции в точках.
Эти два метода метода можно комбинировать, лишь бы информативных значений было <tex>n + 1</tex>. Такие промежуточные задачи называют
''интерполированием по Эрмиту''. <s>Но они никому не нужны.</s>
=== Теорема Лагранжа ===
{{Теорема
Лагранжа
|statement=
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема на <tex>\langle a; b\rangle</tex>. На этом промежутке дана задана система узлов. Тогда для соответственного
интерполяционного полинома Лагранжа выполняется равенство
<tex>f(x) = L_n(x) + \frac{f^{n + 1}(c_x)}{(n+1)!} \cdot \omega_n(x)</tex>, где <tex>c_x</tex>~--- — некоторая точка из <tex>\langle a; b \rangle</tex>, зависящая от <tex>x</tex>.
|proof=
Случай <tex>x = x_k, k = \overline{1, n}</tex> тривиален.
Пусть тогда <tex>x \ne x_k</tex>.
Для доказательства применим теорему Ролля. Определим вспомогательную функцию <tex>g(t) = f(t) - L_n(t)- k \omega_n(t)</tex>, где <tex>k</tex>~--- — коэффициент,
подлежащий определению, а <tex>x</tex> дано.
из узлов и точки <tex>x</tex> можно сделать <tex>n + 1</tex> последовательный отрезок. На конце каждого из них <tex>g</tex> принимает значение <tex>0</tex>.
Значит, по теореме Ролля на каждом из них найдётся по корню производной. Из полученных корней можно сделать <tex>n</tex> отрезков,
на каждом из них по теореме Ролля найдётся по корню второй производной\ldots производной… В конце концов останется один отрезок, границами которого
будут корни <tex>g^{(n)}</tex>. Тогда по теореме Ролля на этом отрезке найдётся корень <tex>g^{(n + 1)}</tex>. Его и обозначим за <tex>c_x</tex>.
}}
=== Следствие: в === В условии теоремы было неравенство <tex>|f(x) - L_n(x)| \leq \frac{M_{n + 1}}{(n + 1)!} (b - a)^{n + 1}</tex>,
<tex>M_{n + 1} = \sup\limits_{\langle a; b \rangle} |f^{(n + 1)}|</tex>
=== Замечание:===
Следует понимать, что на самом деле какую бы систему узлов мы не взяли на <tex>\langle a; b \rangle</tex> как по числу
точек в ней, так и по характеру распределения значений, для этого промежутка всегда можно построить интерполяционный многочлен,
который будет отличаться от неё сколь угодно много(нипанянтна~--- прим. наборщика)
