102
правки
Изменения
→Теорема о вложении пространств L^p
|proof=
}}
=== Теорема о вложении пространств <tex dpi=150>L^p</tex> ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, a, \mu)</tex>
# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\parallel f \parallel_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \parallel f \parallel_r</tex>
|proof=Шмяк1. Напрямую следует из 2 2. Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r -шмяк и готовоs}</tex> Тогда: <tex dpi=150>\parallel f \parallel^s_s = \int_x |f|^s = \int_x |f|^s \times 1 \leqslant (\int |f|^{s \times \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \parallel f \parallel_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex>
}}
