Изменения
→Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой)
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{NA}, \mu), \quad h</tex> - — измерима, почти везде конечна<br><tex>H</tex> - — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex><br><tex>v \nu = h(\mu)</tex> , т.е. <tex>v\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex><br><tex>\mu_{h}mu_H</tex> - — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex><br>Тогда <tex>\mu_h mu_H \equiv v\nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex><br>
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h < b - \dfrac1n\right)</tex><br>
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h < b - \dfrac1n\right) = \mu X(h<b)</tex> <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h < b - \dfrac1n\right) = X(h<b)\right)</tex><br>
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}
Остальное из прошлой леммы<br>
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}
