Изменения
→Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество
<tex>\implies</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.
<tex>\left\| \frac{1}{(\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{(\lambda I - A)^{-1} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex>
Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{(\lambda I - A)^{-1} \right\|}</tex>, тогда:
<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{(\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>
<tex>\Longleftarrow</tex>: Существование резольвентного оператора, определенного на <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) </tex> следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]. Покажем, что <tex> R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} </tex>. По одному из предыдущих утверждений, <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>. Поскольку <tex> \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| </tex>, то <tex> \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} </tex>. Так как оператор <tex> \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} </tex> допускает, по условию, априорную оценку решений, то <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>, откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем <tex> \mathcal{H} </tex>.
