102
правки
Изменения
→Критерий плотности
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
<tex>\Rightarrow)</tex> Очевидно<br>
<tex>\Leftarrow)</tex> Пусть <tex>w > 0</tex> (без потери общности)<br>
<tex>A = \bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} A_k (q^k \leqslant w \leqslant q^{k-1}) \quad q \in (0, 1)</tex><br>
<tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu (A_k) \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br>
<tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br>
<tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot q^k \cdot \mu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br>
<tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br>
<tex>q \to 1-0</tex><br>
<tex>\nu(A) = \int\limits_{A} w d\mu</tex>
}}
