304
правки
Изменения
Нет описания правки
<tex>\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}</tex>.
<tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2)</tex>.
4) Пусть <tex>\omega</tex> удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.<br />
Докажем, опираясь на пункт 3. Покажем, что <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> убывает.<br />
<tex>0 < t_1 < t_2</tex>, <tex>t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2</tex> - выпуклая комбинация 0 и <tex>t_2</tex>.<br />
Из выпуклости следует: <tex>\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)</tex>. Но <tex>\omega(0) = 0</tex>, следовательно, <tex>\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}</tex>, то есть, функция <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> является убывающей.
