Изменения
minor fixes
1) <tex>\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \omega (nt) \le n \omega (t)</tex><br />
Доказательство ведётся по индукции. Для <tex>n = 1</tex> неравенство тривиально.<br />
Пусть утверждение верно для <tex>n</tex>. Тогда <tex>\omega((n + 1) t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \omega (t)</tex>, что и требовалось доказатьч. т. д.
2) <tex>\forall \lambda > 0</tex> <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)</tex><br />
3) Пусть для некоторой функции <tex>\omega</tex> выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция <tex>\frac{\omega(t)}t</tex> убывает. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.<br />
Видно, что треубется доказать только полуаддитивность.
Т. к. <tex>\omega(t_1) + \omega(, t_2) - < t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2}</tex>, <tex>t_1 + t_2 > t_1, t_2</tex>.<br />то <tex>\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}</tex>.Тогда <tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2)</tex>.<br/>
4) Пусть <tex>\omega</tex> удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.<br />
