Изменения
Нет описания правки
|statement=Пусть <tex>f(x,y)</tex> удовлетворяет условию Липшица и <tex>f(x,y) \in C(D)</tex>, тогда существует единственное решение задачи Коши
<tex>y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)</tex>, где <tex>h = min(a, \frac{b}{M})</tex>.
|proof=Мамой клянусь.Переформулируем задачу Коши следующим образом: <tex>y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y)dx</tex><br>Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: <tex>y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y_{n-1}(x))dx</tex>. Далее возможны два случая: 1) <tex>y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -</tex> решение.<br>2) <tex>f(x, y_{0}) \neq 0:</tex> предварительно докажем, что:<br><tex>a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br><tex>b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br><tex>c) \:\:\: y_{n}(x) \Rightarrow y(x) \:\:</tex> (это типо равномерно сходится)<br><tex>d) \:\:\: y(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br><tex>e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br>}}
